Testmoduln, Singularitäten und Nahe Zykel

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Axel Stäbler
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 316646288

Über den komplexen Zahlen hat man enge Verbindungen zwischen der Theorie der Multiplikatorideale, (holonomischen) D-Moduln und dem Funktor der nahen Zykel. Es gibt Indizien, dass eine solche Verbindung auch in positiver Charakteristik existiert. Die entsprechenden Objekte in positiver Charakteristik sind Testmoduln, unit F-Moduln sowie der p-adische (bzw. mod p) nahe Zykel Funktor. Mein Projekt befasst sich mit einer Untersuchung dieser Verbindung.In Charakteristik null ist die Verbindung zwischen D-Modultheorie und dem Funktor der nahen Zykel durch die sogenannte V-Filtrierung gegeben. In früheren Arbeiten habe ich gezeigt, dass man in Charakteristik p unter einer bestimmen technischen Voraussetzung (F-Regularität) ein Analogon zur V-Filtrierung definieren kann. Genauer findet die Konstruktion in positiver Charakteristik in der Kategorie der Cartiermoduln statt (Testmoduln tragen eine Cartiermodulstruktur). Zu dieser Kategorie gibt es kein Analogon in den komplexen Zahlen. Teil meines Projektes ist es die V-Filtrierung in voller Allgemeinheit zu konstruieren und zu untersuchen, ob man, in Analogie mit der komplexen Situation, die V-Filtrierung auch direkt in der Kategorie der unit F-Moduln definieren kann.Im Komplexen spielt die Theorie der mittleren Erweiterungen eine zentrale Rolle in der Theorie der holonomischen D-Moduln, da man jeden holonomischen D-Modul vermöge mittlerer Erweiterungen aus einfachen Komponenten zusammensetzen kann. In Charakteristik p stehen mittlere Erweiterungen in direkter Beziehung zu Testmoduln. Dies legt nahe, dass man Fragen, hinsichtlich der Funktorialität von mittleren Erweiterungen, die in Charakteristik null bekannt sind, aber offen in Charakteristik p, mit Hilfe von Testmodultheorie lösen kann.Im Allgemeinen ist die Konstruktion des Testmoduls nicht funktoriell. Tatsächlich sichert die oben erwähnte technische Voraussetzung der F-Regularität eine Funktorialität des Testmoduls. Wir planen die Definition des Testmoduls im allgemeinen Fall zu modifizieren, sodass er automatisch funktoriell ist. Wir erwarten, dass sich die meisten Resultate über Testmoduln zu einer so modifizierten Definition herüber retten lassen.In Charakteristik null liefern die sogenannten Sprungzahlen der Multiplikatoridealfiltrierung Informationen zu den Eigenwerten der Monodromiewirkung auf der Milnorfaser der Singularität. Es gibt Hinweise, dass es ein Charakteristik p bzw. ein p-adisches Analogon dieses Phänomens gibt. Wir planen dies im Fall von ADE-Singularitäten und normalen Kreuzungsdivisoren mit Hilfe von Monsky-Washnitzer Kohomologie zu untersuchen, da man in dieser Kohomologie sehr explizit rechnen kann.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Mircea Mustata, Ph.D.