Konstruktion und Analyse der Langevin-Dynamik in kontinuierlichen Vielteilchensystemen und Herleitung von deren Skalierungslimiten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt haben wir Probleme der Gleichgewichtsdynamik kontinuierlicher, interagierender Teilchensysteme behandelt, wobei wir uns auf das nicht-reversible und nichtsektorielle, durch die Langevin-Gleichung gegebene Modell konzentriert haben, das technisch nochmal wesentlich anspruchsvoller als reversible bzw. sektorielle Modelle ist. Unser erstes Ziel war die Konstruktion der zugehörigen stochastischen Dynamik für N Teilchen (und ihre Geschwindigkeiten), die sich entweder in Rd oder im d-dimensionalen Torus bewegen. Dabei konzentrierten wir uns auf den Fall von singulären, außerhalb der Singularitäten stetigen Wechselwirkungspotentialen, deren zugehörigen Kräfte, die in der Langevin-Gleichung als Koeffizienten auftreten, lediglich im Sinne von schwachen Ableitungen existieren. Ausgehend von funktionalanalytischen Betrachtungen zeigten wie die Existenz von Martingallösungen für jede Startverteilung, die absolutstetig mit beschränkter Dichte bezüglich dem zugehörigen kanonischen Gibbs-Maß ist. Mittels guter Kenntnis des Definitionsbereichs des Generators der Langevin-Dynamik haben wir dann das Langzeitverhalten derselben untersucht und zum einen sehr allgemein die schwache Mischungseigenschaft nachgewiesen (soweit der Zustandsraum zusammenhängend ist), zum andern eine Abschätzung der Konvergenzrate bei der Konvergenz des zeitlichen Mittels gegen die Gleichgewichtsverteilung gezeigt. Analoge Resultate wurden für den sogenannten Fadenniederlegungsprozess aus der Technomathematik erzielt. Ausgehend von der im Projekt konstruierten N-Teilchen Langevin-Dynamik konnte für eine große Klasse von Paar-Potentialen, welche physikalisch relevante Wechselwirkungspotentiale wie das Lennard-Jones-Potential enthält, die Langevin-Dynamik von unendlich vielen Teilchen im Rd konstruiert werden. Die dabei erzielten Zwischenergebnisse (z.B. Ruelle-Schranke für kaonische Gibbs-Maße mit periodischer Randbedingung, diverse technische Werkzeuge) können z.T. als eigenständige Resultate betrachtet werden, die beim Studium u.a. von stochastischen Dynamiken auf Konfigurationsräumen von Nutzen sein werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Ergodicity and rate of convergence for a non-sectorial fiber lay-down process. SIAM J. Math. Anal., 40(3):968–983, 2008
M. Grothaus and A. Klar
- Construction, ergodicity and rate of convergence of N-particle Langevin dynamics with singular potentials. J. Evol. Eq., 10(3):623– 662, 2010
F. Conrad und M. Grothaus
