Analytische Aspekt des optimalen Transports

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Röckner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 316972354

Das Projekt befasst sich mit analytischen Aspekten der Theorie des optimalen Transports mit besonderem Hinblick auf neue Problemstellungen bezüglich verschiedener Einschränkungen an die optimale Transport-Abbildungen und optimale Transportpläne. Diese Probleme sind in vielen theoretischen sowie angewandten Bereichen der Mathematik von Bedeutung.1.Es soll die Kantorovich-Dualität für Transportprobleme mit zusätzlichen Einschränkungen und dessen Verbindung zur Ergodizitätstheorie studiert werden. Dies beinhaltet u.a. das Martingal-Transportproblem, sowohl den Fall der allgemeinen linearen Bedingungen als auch spezifische andere Bedingungen. In diesem Zusammenhang wird die Struktur der Transportpläne, die man mittels ergodischer Zerlegungen erhält, untersucht.2.Es soll eine nicht-kommutative Monge-Kantorovich Theorie entwickelt werden.3.Es sollen die Energie-Maßräume und die entsprechende Transportprobleme untersucht werden.4.Es sollen dynamische Probleme in der Theorie des optimalen Transports auf unendlichdimensionalenRäumen betrachtet werden. Dabei sollen die nichtlineare Transformationen von Transportplänen und die zugehörige Bedingungen für die absolute Stetigkeit des Bildmaßes analysiert werden.5.Ein weiteres Ziel ist die optimale Kontrolle von Gradientenflüssen in einem Wahrscheinlichkeitsmaßraum mit Kantorovich Metrik.6.Es sollen die Eigenschaften von Lösungen der Kähler-Einstein-Gleichung untersucht werden. Als Anwendung sollte man die bestmöglichen asymptotischen Schranken für isoperimetrischen Konstanten konvexer Körper erhalten. Dafür ist geplant a priori Abschätzungen und verschiedene geometrische Eigenschaften der Kähler-Einstein-Gleichung zu untersuchen, insbesondere die Abschätzungen für die dritten Ableitungen der Lösungen.7. Es soll die unendlichdimensionale reelle Kähler-Einstein-Gleichung auf dem Wienerraum, wobei das Bildmaß mit dem Wienermaß übereinstimmt, studiert werden. Das Ziel ist die Existenz von Lösungen der Kähler-Einstein-Gleichung zu zeigen, wobei der optimale Transport durch die logaritmische Ableitung eines gewissen Maßes gegeben ist.8.Die Untersuchung von Mannigfaltigkeiten, versehen mit Maßen und hesseschen Metriken, die durch die Potentiale des optimalen Transports induziert sind, ist ebenfalls Bestandteil des Projekts. Als Hauptanwendungen erwarten wir neue Abschätzungen für die Sobolev- und isoperimetrischen Konstanten, sowie Schranken für die Kantorovich-Metrik.9.Es werden Transportprobleme mit vielen (mindestens zwei) Marginalverteilungen behandelt. Im Spezialfall, wenn die Kostenfunktion durch das Minimum von affinen Funktionen gegeben ist, planen wir eine genaue Beschreibung von Lösungen des Transportproblems mit eindimensionalen Marginalverteilungen zu erhalten. Außerdem beabsichtigen wir, einige Resultate von 1 auf eine größere Anzahl von Marginalverteilungen zu erweitern.10.Es sollen einige neue geometrische Ungleichungen für konvexe Körpermittels optimalen Transports hergeleitet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen