L2-Dolbeault cohomology and canonical sheaves on singular complex spaces
Final Report Abstract
Die Klassifikation und das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten sind zentrale Bestandteile der Komplexen Analysis. Dazu wurden viele verschiedene Werkzeuge wie holomorphe Differentialformen, L2-Theorie oder Hermiteschen Metriken entwickelt. Während diese für den regulären Kontext gut verstanden sind, gibt es noch viele offene Fragen und Probleme, wenn wir diese Methoden in die singuläre Situation übertragen. Ziel des Projekts war einiger dieser Fragen und Probleme für die oben genannten Werkzeuge zu untersuchen. Um den Begriff der Differentialformen auf komplexen Räumen einzuführen, bieten sich mehrere nicht äquivalente Möglichkeiten an. Im Rahmen des Projekts studierten H. Samuelsson Kalm und ich den Zusammenhang zwischen den schwach holomorphen Differentialformen und den Barlet-Formen. Basierend auf Argumenten von D. Greb, S. Kebekus, S. Kovács und T. Peternell zeigten wir folgende Implikation: Wenn die Garbe der schwach holomorphen Differentialformen eines komplexen Raumes lokal frei ist, dann ist der komplexe Raum glatt, hat also keine Singularitäten. Dies ist interessant im Kontext mit der Zariski-Lipman-Vermutung, welche äquivalent zu der folgenden Formulierung ist: Ein normaler komplexer Raum ist glatt, wenn die zugehörige Garbe der Barlet-Formen lokal frei ist. Eine Proposition von H. Pinkham verallgemeinernd erhielten wir ein hinreichendes Kriterium dafür, dass die beiden genannten Garben isomorph sind. Kürzlich mussten wir feststellen, dass M. Kersken die oben erwähnte Implikation bereits bewies. Jedoch erlaubt die von uns benutzte Argumentation, ein allgemeineres Glättekriterium bezüglich anderer Garben von Differentialformen zu zeigen. Ein weiterer Teil des Projekts war die L2-Theorie auf singulären Räumen besser zu verstehen. Ähnlich zu lokalen Verschwindungssätzen von W. Pardon und M. Stern konnten wir L2-Verschwindungssätze für komplexe Räume beweisen. Davon leiteten wir mit Grauerts Beulen-Methode die Äquivalenz von gewissen L2-Dolbeault-Kohomologien für Gebiete mit streng pseudokonvex Rand ab. Zusätzlich bewiesen wir die Äquivalenz, selbst wenn der Rand nur streng pseudokonvex auf dem Komplement einer diskreten Menge ist. Unmittelbar vor dem Antritt des Stipendiums studierten R. Lärkäng, H. Raufi, J. Ruppenthal und ich Griffiths-positive/negative gekrümmte singuläre Hermitesche Metriken. Wir fanden für kleine Grade eine geeignete Definition für deren Chernströme, welche die Chernklassen repräsentieren. Dafür verallgemeinerten wir eine Strategie von J.-P. Demailly zur Definition von Monge-Ampère-Produkten à la Bedford-Taylor für kleine Grade. Wiederum präsentierten M. Andersson und E. Wulcan eine Definition des Monge-Ampère-Produkts für beliebige Grade, wenn das Potential analytische Singularitäten hat. Als Bestandteil des Projekts untersuchten R. Lärkäng, H. Raufi, E. Wulcan und ich, inwiefern wir die Andersson-Wulcan-Definition nutzen können, um Chernströme beliebiger Grade zu definieren. Zwar stellte sich heraus, dass Andersson-Wulcans Monge-Ampère-Produkt auf Anhieb nicht genügend ist. Aber mit Korrekturtermen konnten wir für positive/negative Metriken mit analytischen Singularitäten Chernströme definieren, welche geschlossen und von der Ordnung 0 sind und folgende Eigenschaften besitzen: (1) Außerhalb der singulären Menge stimmen sie mit den klassischen Chernformen überein; (2) für kleine Grade stimmen sie mit den oben genannten Strömen überein; (3) ihre de-Rham-Restklassen sind die Chernklassen des betrachteten Vektorbündels.
Publications
- A smoothness criterion for complex spaces in terms of differential, 5 S.
Martin Sera, Håkan Samuelsson Kalm
