Singular and non-singular concentrations of transversal forces in linear-elastic plates

• Applicant: Professor Dr.-Ing. Wilfried Becker
• Subject Area: Mechanics ; Applied Mechanics, Statics and Dynamics
• Term: from 2016 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 319297307

• Final Report Year: 2019

Final Report Abstract

Innerhalb des durchgeführten Forschungsvorhabens wurde eine modifizierte Plattentheorie formuliert, welche zwischen der klassischen Kirchhoff-Theorie einerseits und der Reissner-Mindlin-Theorie andererseits eingeordnet werden kann. Es wurde gezeigt, dass das resultierende Differentialgleichungssystem der modifizierten Theorie für die Methode komplexer Potentiale zugänglich ist. Hierbei wurden die Plattenneigungen und die Plattenabsenkung in geeigneter Weise durch drei komplexe, holomorphe Potentiale ausgedrückt, sodass das zugrunde liegende Differentialgleichungssystem für eine beliebige Wahl der drei komplexen Potentiale identisch erfüllt ist. Der hergeleitete Formalismus komplexer Potentiale wurde anschließend genutzt, um asymptotische Lösungen des Kerb-Plattenproblems zu generieren. Hier wurde gezeigt, dass sich die Biegemomente und Querkräfte über eine Reihenentwicklung bezüglich des radialen Abstandes zur Kerbspitze darstellen lassen und dass abhängig von Kerböffnungswinkel in unmittelbarer Nähe der Kerbspitze singuläre Biegemomente und Querkräfte entstehen. Der das singuläre Verhalten charakterisierende Singularitätsexponent λ wurde für unterschiedliche Kerböffnungswinkel und sowohl für isotropes als auch für anisotropes Werkstoffverhalten bestimmt. Hierbei zeigte sich eine sehr gute Übereinstimmung mit Resultaten der Reissner-Mindlin-Theorie. So ist die modifizierte Theorie beispielsweise in der Lage, das charakteristische 1/√r-Abklingverhalten der Plattenquerkräfte im Fall des Risses korrekt abzubilden, was hingegen mit der klassischen Kirchhoff-Theorie nicht möglich ist. In einem nächsten Schritt wurde das Randwertproblem einer unendlich ausgedehnten Platte mit kreisförmigem und elliptischem Loch für verschiedene Belastungssituationen mittels konformer Abbildung geschlossen-analytisch gelöst. So liefert beispielsweise die modifizierte Theorie im Fall des Kreisloches unter einachsiger Biegung ein maximales Biegemoment in Umfangsrichtung, welches um den Faktor drei gegenüber dem im Unendlichen angreifenden Biegemoment überhöht ist. Ist die Lochabmessung klein im Vergleich zur Plattendicke, zeigt die modifizierte Theorie eine sehr gute Übereinstimmung mit numerischen Ergebnissen der Reissner-Mindlin-Theorie, wohingegen bei größeren Lochabmessungen starke Abweichungen resultieren. Daraus folgt, dass die modifizierte Theorie zwar auf kleine relative Lochabmessungen beschränkt ist, sie aber innerhalb dieser Grenzen ein sehr effizientes Werkzeug zur Ermittlung des lokalen Beanspruchungszutandes an Spannungskonzentrationen darstellt. Abschließend konnte gezeigt werden, dass die modifizierte Theorie als führender Term einer asymptotischen Entwicklung der Reissner-Mindlin-Theorie aufgefasst werde kann, womit die beobachtete Übereinstimmung für kleine Löcher plausibilisiert werden konnte.

Publications

• A complex potential method for the asymptotic solution of wedge problems using first-order shear deformation plate theory. In: European Journal of Mechanics A/Solids , 61, 382–392, 2017
  Felger, J.; Becker, W.
  
• A modified plate model for an efficient analytical treatment of stress concentrations at notches. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics , 2018
  Felger, J.; Becker, W.