Harnack-Ungleichungen für Krümmungsflüsse und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Julian Scheuer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 319506420

• Erstellungsjahr: 2019

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Hauptziel dieses Projektes, nämlich bei der Herleitung von Harnack-Ungleichungen für extrinsische Krümmungsflüsse den Euklidischen Rahmen zu verlassen, wurde in dem vorher erhofften Umfang erreicht und teilweise übertroffen. Zum Beispiel konnte für den mittleren Krümmungsfluss in lokal symmetrischen, Einsteinschen Räumen (sowohl Riemannsch als auch Lorentzsch) nicht-negativer Schnittkrümmung eine klassische differentielle Harnack-Ungleichung hergeleitet werden. Die Annahmen an die Symmetrien des umgebenden Raumes erscheinen in diesem Rahmen natürlich. Übertroffen wurde die angestrebte Allgemeinheit der behandelten Flussgeschwindigkeiten, da wir solche Ungleichungen auch für eine große Klasse anisotroper Flüsse beweisen konnten. Wie in der Projektbeschreibung angedeutet, lag der Schlüssel zu diesen Resultaten darin, einen geeigneten Ersatz für die im Euklidischen Raum mögliche Parametrisierung nach der Gaußabbildung zu finden. Dies gelang durch eine direkte Reparametrisierung des Flusses, ohne Rückgriff auf eine extrinsische Gaußabbildung, die im Allgemeinen gar nicht existiert. Die notwendigen Rechnungen wurden derart vereinfacht, dass wir die nötigen Evolutionsgleichungen in sehr allgemeinem Rahmen herleiten und analysieren konnten. Die wesentliche angestrebte Anwendung, nämlich die Klassifizierung der konvexen, ewigen Lösungen für Flüsse in der Sphäre, folgte in dem zu erwartenden Rahmen. Unabhängigkeit von der Validität einer Harnack-Ungleichung konnten wir das Klassifikationsproblem allerdings auch unter anderen schwachen Bedingungen lösen, u.A. unter der Annahme rückwärts beschränkter Krümmung. Überraschend war hierbei, dass die Flussgeschwindigkeiten, für die wir eine solche Klassifikation vornehmen konnten, deutlich weniger Strukturbedingungen erfüllen mussten, als es bei vergleichbaren Resultaten bisher der Fall war. Offen geblieben sind die Fragen, ob und inwiefern eine differentielle Harnack-Ungleichung auch für Flüsse um hyperbolischen Raum gilt, sowie ob jede konvexe, ewige Lösung eines Krümmungsflusses in der Sphäre rückwärts beschränkte Krümmung haben muss. An diesen Problemen wird derzeit noch gearbeitet.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• On the classification of ancient solutions to curvature flows on the sphere
  Bryan, Paul; Ivaki, Mohammad N. und Scheuer, Julian
  
• Harnack inequalities for evolving hypersurfaces on the sphere, Comm. Anal. Geom. 26, no. 5, p. 1047–1077
  Bryan, Paul; Ivaki, Mohammad N. und Scheuer, Julian
  
• Expansion of pinched hypersurfaces of the Euclidean and hyperbolic space by high powers of curvature, erscheint in Math. Nachr.
  Kröner, Heiko und Scheuer, Julian
  
• Harnack inequalities for curvature flows in Riemannian and Lorentzian manifolds
  Bryan, Paul; Ivaki, Mohammad N. und Scheuer, Julian
  
• Li-Yau gradient estimates for curvature flows in positively curved manifolds
  Bryan, Paul; Kröner, Heiko und Scheuer, Julian