Formale Modulräume von p-dividierbaren Gruppen in Restklassencharakteristik 2
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Gegenstand des Forschungsprojekts ist das Studium formaler Modulräume p-dividierbarer Gruppen in Restklassencharakteristik 2. Im Vordergrund steht hierbei der Zusammenhang zur Theorie der lokalen Modelle sowie die Frage nach der Existenz eines lokalen-Modell-Diagramms. Weitere Aspekte des Projekts sind die Untersuchung der Modulräume in Hinblick auf interessante Eigenschaften wie beispielsweise Flachheit und die Uniformisierung von Shimura-Varietäten. Aufbauend auf Vorarbeiten aus meiner Doktorarbeit studiere ich die Modulräume mit unitärer Levelstruktur eingehender. Im Fall von gerader Dimension erziele ich hierbei große Fortschritte. Ich formuliere eine neue Bedingung an die naiven Modulräume in Termen von quadratischen Formen, die die “straightening condition” aus meiner Doktorarbeit weitgehend verallgemeinert. Die so erhalten Räume sind (unter kleinen technischen Einschränkungen) darstellbar und erfüllen hinreichende Kriterien für die Existenz eines lokalen-Modell-Diagramms. Außerdem erhält man ein Resultat über die Uniformisierung von Shimura-Varietäten. In einer zweiten Phase studiere ich die zugehörigen lokalen Modelle in Hinblick auf Flachheit. Ich beweise, dass Räume mit Kottwitz-Signatur der Form (1, r) Cohen-Macaulay sind, also insbesondere auch flach. Daraus folgt direkt, dass die betrachteten Modulräume ebenfalls Cohen-Macaulay und flach sind. Des Weiteren lassen sich die Ergebnisse aus der zweiten Phase auf den Fall beliebiger Restklassencharakteristik übertragen und liefern auch dort wichtige neue Erkenntnisse. Dieser Umstand bestätigt unter anderem meine zu Beginn des Forschungsprojekts formulierte Erwartung, dass Fortschritte im Fall p = 2 auch direkte Auswirkungen auf anderen Fälle haben. Das Studium der Modulräume in Restklassencharakteristik 2 bleibt somit auch weiterhin von zentraler Bedeutung.
