Gendo-symmetrische Algebren, Komultiplikationen und homologische Eigenschaften

• Antragsteller: Professor Dr. Steffen Koenig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 320590662

Gendosymmetrische Algebren entsprechen den symmetrischen Algebren unter Morita-Tachikawa-Korrespondenz. Beispiele sind klassische und quantisierte Schuralgebren (mit Parametern n größer oder gleich r), Blöcke der Bernstein-Gelfand-Gelfand Kategorie O halbeinfacher komplexer Lie-algebren sowie Auslanderalgebren von Blöcken mit zyklischem Defekt. In gemeinsamer Arbeit mit Ming Fang wurde vor kurzem entdeckt, dass gendosymmetrische Algebren eine Komultiplikation besitzen. Diese Komultiplikation haben wir verwendet, um gendosymmetrische Algebren und ihre dominante Dimension zu charakterisieren.Der Hauptteil des beantragten Projekts, für eine Doktorandin, hat zum Ziel, diese Komultiplikation zu untersuchen und mit bekannten Komultiplikationen bei Frobeniusalgebren und schwachen Bialgebren zu vergleichen. Ein zentrales Ziel ist es, mithilfe einer komultiplikativen Version des Bar-Komplexes die Nakayama-Vermutung für gendo-symmetrische Algebren zu beweisen. Eine weitere wichtige Eigenschaft gendosymmetrischer Algebren ist ihr Verhalten unter derivierten Äquivalenzen, das den Ausgangspunkt bilden soll für allgemeinere Ergebnisse zu derivierten Äquivalenzen: Unter noch zu bestimmenden Voraussetzungen induzieren derivierte Äquivalenzen zwischen gendosymmetrischen oder allgemeineren Algebren derivierte Äquivalenzen zwischen symmetrischen Zentralisatoralgebren. Ausserdem erhalten derivierte Äquivalenzen die globale und die dominante Dimension, ebenfalls ein unerwartetes Phänomen. Die benötigten Voraussetzungen sollten die dominanten Dimensionen der Algebren betreffen, also die zentrale homologische Eigenschaft im ganzen Projekt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen