Analysis von adaptiven nichtkonformen Galerkin Finite Elemente Methoden

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Kreuzer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 321270008

Im Rahmen des Forschungsprojekts werden wir adaptive nichtkonforme Finite Elemente Galerkin Verfahren für stationäre und instationäre Probleme untersuchen. Konforme Methoden weisen oft eine gewisse `Starrheit' auf, deren Lockerung durch nichtkonforme Ansätze in vielen Fällen bessere Stabilitätseigenschaften mit sich bringt und die Erhaltung struktureller Eigenschaften vereinfacht. Darüber hinaus erleichtert eine Abschwächung von globalen Kopplungen die Parallelisierung von Lösern für die entsprechenden diskreten Systeme.Seit mehr als drei Jahrzehnten sind adaptive Verfahren ein wesentlicher Baustein in der effizienten Approximation von Problemen der Ingenieurwissenschaften und des wissenschaftlichen Rechnens. Adaptive finite Elemente Methoden nutzen heuristische Markierungsstrategien auf der Basis von a posteriori Fehlerindikatoren und bestechen in der Praxis durch ein optimales Verhältnis von Kosten zu Genauigkeit. Mathematisch ist diese herausragende Leistungsfähigkeit adaptiver Verfahren für konforme Diskretisierungen mittlerweile gut verstanden. Demgegenüber existieren aber nur wenige Ergebnisse für nichtkonforme Verfahren. Im ersten Antragszeitraum haben wir uns auf grundlegende Konvergenzaussagen für `discontinuous Galerkin' Verfahren konzentriert. Neben diesen asymptotischen Eigenschaften sind oftmals aber präasymptotische Stabilitäts- und Erhaltungseigenschaften der Methoden ausschlaggebend für ihre Tauglichkeit in praktischen Anwendungen. Unsere jüngst entwickelten nichtkonformen Methoden weisen strukturelle Gemeinsamkeiten mit discontinuous Galerkin Verfahren, aber auch mit `Hybrid-High-Order Methods', `Recoverd Finite Element Methods' und `Virtual Finite Element Methods' auf. Aus diesen Gründen wollen wir einerseits den Pool der zu untersuchenden Methoden erweitern und uns andererseits vermehrt auf quantitative Aspekte wie optimale Konvergenzraten und präasymptotische Eigenschaften konzentrieren. Beispiele f\"ur Letzteres sind die Erhaltung struktureller Eigenschaften wie die Massenerhaltung bei Stokes und Navier-Stokes Problemen oder Locking Phänomene in der linearen Elastizität und bei singulär gestörten Problemen.Der Fokus des Projekts liegt auf der Entwicklung und mathematisch strikten Analyse von nichtkonformen Verfahren. Allerdings möchten wir neu entwickelte Methoden nicht nur anhand akademischer Problemstellungen testen, sondern explizit auch auf geeignete Benchmark-Fragestellungen anwenden.Dadurch trägt das beantragte Projekt signifikant zum theoretischen Verständnis nichtkonformer Finite Elemente Galerkin Methoden bei und legt die Grundlage für deren Anwendung auf praxisrelevante Probleme auf `high-performance' Rechnern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Italien
• Kooperationspartner: Professor Dr. Emmanuil Georgoulis; Professor Dr. Andreas Veeser; Dr. Pietro Zanotti