Large Scale Indextheorie, Positive skalare Krümmung und Topologie von Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Schick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 321324296

Wir studieren, welche Typen von Geometrie eine gegebene kompakte randlose Mannigfaltigeit M zuläßt. Speziell interessiert hier -motiviert durch die Kosmologie- die Skalark rümmung, und wir studieren insbesondere den Raum der Metriken mit positiver Skalarkrümmung. Wann ist dieser Raum leer und wann gibt es solch eine Metrik? Allgemeiner: was kann man über seine Topologie sagen? Zum Beispiel: wie sehen seine Homotopiegruppen aus?Eine fundamentale Differenzialgleichung der Quantenphysik, die Diracleichung für Spinoren, ist eng mit positiver Skalarkrümmung verknüpft. Moderne Verfeinerungen, zu welchen das Forschungsprojekt beiträgt, nutzen Operatoralgebren und K-Theorie um die subtile globale Information über die Geometrie aufzudecken, die in dieser Beziehung kodiert ist.Konkreter gibt es die large-scale Indextheorie des Diracoperators als relativ neue und sehr erfolgreiche Technik um Fragen zur positiven Skalarkrümmung zu studieren. Diese nutzt Operatoralgebren welche an nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten angepasst sind, wobei der Fokus auf den Eigenschaften auf großen Skalen liegt. Diese Theorie steht in Verbindung zu tiefliegenden wichtigen Fragen über Operatoralgebren und Topologie, wie die Baum-Connes-Vermutung und die Novikov Vermutung.Im Projekt werden wir das Paradigma der large-scale Indextheorie weiterentwickeln. Wir werden neue geometrische Situationen identifizieren wo es angewendet werden kann; und wir wollen neue geometrisch-topologische Räume konstruieren mit denen die Methode auf den klassischen Fall kompakter Mannigfaltigkeiten angewendet werden kann. Dies wird die Entwicklung verfeinerter analytischer Methoden erfordern. Diese müssen wir dann mit Werkzeugen der Homotopietheorie und Homologie verbinden, um den Raum der Metriken mit positiver Skalarkrümmung zufriedenstellend zu beschreiben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen