Large Scale Indextheorie, Positive skalare Krümmung und Topologie von Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Schick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 321324296

• Erstellungsjahr: 2023

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Projekt wurde studiert, welche Typen von Geometrie eine gegebene kompakte randlose Mannigfaltigeit M zulässt. Speziell interessierte hier - motiviert durch die Kosmologie - die Skalarkrümmung, und wir studierten insbesondere den Raum der Metriken mit positiver Skalarkrümmung. Wann ist dieser Raum leer und wann gibt es solch eine Metrik? Allgemeiner: was kann man über seine Topologie sagen? Zum Beispiel: wie sehen seine Homotopiegruppen aus? Eine fundamentale Differenzialgleichung der Quantenphysik, die Diracleichung für Spinoren, ist eng mit positiver Skalarkrümmung verknüpft. Moderne Verfeinerungen, zu welchen das Forschungsprojekt beigetragen hat, nutzen Operatoralgebren und K-Theorie um die subtile globale Information über die Geometrie aufzudecken, die in dieser Beziehung kodiert ist. Konkreter gibt es die large-scale Indextheorie des Diracoperators als relativ neue und sehr erfolgreiche Technik um Fragen zur positiven Skalarkrümmung zu studieren. Diese nutzt Operatoralgebren, welche an nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten angepasst sind, wobei der Fokus auf den Eigenschaften auf großen Skalen liegt. Diese Theorie steht in Verbindung zu tiefliegenden wichtigen Fragen über Operatoralgebren und Topologie, wie die Baum­Connes-Vermutung und die Novikov Vermutung. Im Projekt wurde das Paradigma der large-scale Indextheorie weiterentwickelt. Wir haben neue geometrische Situationen identifiziert wo es angewendet werden kann. Zudem wurden neue geometrisch-topologische Räume konstruiert, mit denen die Methode auf den klassischen Fall kompakter Mannigfaltigkeiten angewendet werden konnte. Um dies zu erreichen wurden verfeinerte analytische Methoden entwickelt. Diese werden wir dann mit Werkzeugen der Homotopietheorie und Homologie verbinden, um den Raum der Metriken mit positiver Skalarkr Krümmung besser zu beschreiben.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A note on invertibility of the Dirac operator twisted with Hilbert- A-module coefficients
  Thomas Schick
  
• Adiabatic groupoid and secondary invariants in K-theory. Advances in Mathematics, 347, 940-1001.
  Zenobi, Vito Felice
  
• Singular spaces, groupoids and metrics of positive scalar curvature. Journal of Geometry and Physics, 137, 87-123.
  Piazza, Paolo & Zenobi, Vito Felice
  
• Positive Scalar Curvature due to the Cokernel of the Classifying Map. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications.
  Schick, Thomas & Zenobi, Vito Felice
  
• Non-negative versus positive scalar curvature. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 146, 218-232.
  Schick, Thomas & Wraith, David J.
  
• On an index theorem of Chang, Weinberger and Yu, Münster J. Math. 14, no. 1, 123–154.
  Thomas Schick & Mehran Seyedhosseini
  
• The adiabatic groupoid and the Higson–Roe exact sequence. Journal of Noncommutative Geometry, 15(3), 797-827.
  Zenobi, Vito Felice
  
• The Gromov–Lawson codimension 2 obstruction to positive scalar curvature and the C∗–index. Geometry & Topology, 25(2), 949-960.
  Kubota, Yosuke & Schick, Thomas
  
• Transfer maps in generalized group homology via submanifolds. Documenta Mathematica, 26(2021), 947-979.
  Nitsche, Martin; Schick, Thomas & Zeidler, Rudolf
  
• A variant of Roe algebras for spaces with cylindrical ends with applications in relative higher index theory. Journal of Noncommutative Geometry, 16(2), 595-624.
  Seyedhosseini, Mehran
  
• On positive scalar curvature bordism. Communications in Analysis and Geometry, 30(9), 2049-2058.
  Piazza, Paolo; Schick, Thomas & Zenobi, Vito Felice
  
• Mapping Analytic Surgery to Homology, Higher Rho Numbers and Metrics of Positive Scalar Curvature. Memoirs of the American Mathematical Society, 309(1562).
  Piazza, Paolo; Schick, Thomas & Zenobi, Vito Felice