Geometrie und Dynamik ganzer Funktionen in der Speiser-Klasse
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Forschungsvorhaben war in der reinen Mathematik im Bereich der komplexen Dynamik angesiedelt. Die komplexe Dynamik befasst sich mit der Iteration, der wiederholten Anwendnung, holomorpher Funktionen f : C → C. Die komplexe Ebene C kann in zwe Bereiche aufgeteilt werden: Die Fatoumenge von f, auf der die Iterierten fn = f ◦ . . . ◦ f (n−mal) von f ein in gewissem Sinne stabiles Verhalten aufweisen, und die Juliamenge, auf der die Iterierten chaotisch agieren. Wegen der oftmals fraktalen Gestalt der Juliamenge, kann ihr nicht mehr auf kanonische Weise eine Dimension zugewiesen werden. Die sogenannte Hausdorffdimension erlaubt es einem, auch fraktalen Mengen eine Dimension zuzuordnen. Im ersten Teil des Projekts untersuchte ich in Kooperation mit Christopher J. Bishop die Hausdorffdimension von Juliamengen von Funktionen in der Speiser-Klasse. Diese Klasse besteht aus all denjenigen ganz transzendenten Funktionen, also ganzen Funktionen, die keine Polynome sind, welche nur über endlich viele kritische und asymptotische Werte verfügen. Gwyneth Stallard bewies, dass zu jedem d ∈ (1, 2] eine ganz transzendente Funktion in der Eremenko-Lyubich-Klasse existiert, sodass die Hausdorffdimension der Juliamenge dieser Funktion gerade d ist. Sie bewies ferner, dass die Juliamenge einer Funktion in der Eremenko-Lyubich-Klasse nie Dimension 1 haben kann. Kleinere Werte sind nicht möglich. Die Speiser-Klasse ist eine spezielle Teilmenge der Eremenko- Lyubich-Klasse. Als ersten Schritt, um Stallards Resultat auf die Speiser-Klasse zu verallgemeinern, bewiesen Bishop und ich folgenden Satz: Satz (A., Bishop). Zu jedem δ > 0 existiert eine Funktion in der Speiser-Klasse deren Juliamenge Hausdorffdimension echt kleiner als 1 + δ hat. Es ist also möglich, mit der Hausdorffdimension von Juliamengen in der Speiser-Klasse beliebig nahe an 1 heranzukommen. Dieses sind die ersten Beispiele von Funktionen in der Speiser-Klasse, deren Juliamengen Hausdorffdimensionen echt kleiner als 2 haben. Im zweiten Teil des Projektes standen Funktionen von disjunktem Typ und endlicher Ordnung im Fokus. All diese Funktionen liegen in der Eremenko-Lyubich-Klasse. Ihre Juliamengen haben alle die Struktur eines Cantor Bouquets. Zwei Cantor Bouquets können durch einen Homöomorphismus von C nach C aufeinander abgebildet werden. Es stellt sich die Frage, ob ein solcher Homöomorphismus so gewählt werden kann, dass er die Funktionen auf ihren Juliamengen zueinander konjugiert. Das dynamische Verhalten der beiden Funktionen auf ihren Juliamengen ist dann identisch. Zuerst ging es um Funktionen der Ordnung echt kleiner 1. Satz (A., Benini, Rempe-Gillen). Seien f und g zwei Funktionen von disjunktem Typ und Ordnung echt kleiner 1. Dann sind f und g auf ihren Juliamengen zueinander konjugiert durch einen Homöomorphismus, der sich auf ganz C fortsetzen lässt. Es stellte sich heraus, dass solche Funktionen die technische Eigenschaft „bounded decorations“ besitzen und diese letztendlich für die Existenz des Homöomorphismus verantwortlich ist. Satz (A., Benini, Rempe-Gillen). Seien f und g Funktionen von disjunktem Typ und endlicher Ordnung. Fernen haben f und g dieselbe Anzahl an Trakten. Wenn f und g die Eigenschaft „bounded decorations“ haben, so sind sie auf ihren Juliamengen zueinander konjugiert durch einen Homöomorphismus, der sich auf ganz C fortsetzen lässt. Die Eigenschaft „bounded decorations“ ist dabei essenziell. Satz (A., Benini, Rempe-Gillen). Es existieren überabzählbar viele Funktionen von disjunktem Typ und Ordnung 1, sodass keine zwei auf ihren Juliamengen zueinander konjugiert durch einen Homöomorphismus, der sich auf ganz C fortsetzen lässt. Der zweite Teil ist eine Gemeinschaftsarbeit mit Anna Miriam Benini und Lasse Rempe Gillen. Dieser Teil ist noch nicht endgültig abgeschlossen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Speiser class Julia sets with dimension near one, März 2018
Simon Albrecht, Christopher J. Bishop
