Generische Bifurkationsstrukturen in stückweise-glatten Abbildungen mit extrem vielen Grenzen. Theorie und Anwendungen im Bereich der Leistungselektronik - 2

• Antragsteller: Professor Dr. Viktor Avrutin
• Fachliche Zuordnung: Automatisierungstechnik, Mechatronik, Regelungssysteme, Intelligente Technische Systeme, Robotik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 328158773

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Ziel des Projekts war es, einige ungewöhnliche Bifurkationsphänomene in einer speziellen Klasse von stückweise glatten Abbildungen zu erklären. Solche Abbildungen agieren als mathematische Modelle für AC/DC- und DC/ AC-Spannungswandler, die in verschiedenen technischen Anwendungen, insbesondere in erneuerbaren Energiequellen und Stromversorgungen für Elektrofahrzeuge, weit verbreitet sind. Frühere Studien haben gezeigt, dass zeitdiskrete Modelle solcher Systeme zu einer Klasse stückweise glatter Abbildungen gehören, die bisher nicht ausreichend untersucht wurden. Charakteristisch für diese Abbildungen ist eine extrem hohe Anzahl der Schaltmannigfaltigkeiten, was zu vielen neuen Bifurkationsphänomenen führt. Um die Dynamik der zugrunde liegenden Anwendungen vorherzusagen und gezielt beeinflussen zu können, müssen diese Phänomene erklärt werden. Zu den im Projekt untersuchten Phänomenen gehörten das Auftreten von Bubbling, neuartige Border-Collision-Bifurkationen, Bifurkationen geschlossener invarianter Kurven sowie Transformationen chaotischer Attraktoren. Alle Projektziele wurden vollständig erreicht und teilweise übertroffen. Besonders erwähnenswert ist die Entwicklung einer neuen Theorie, das Bubbling-Phänomen (plötzlich in einem begrenzten Phasenintervall auftretende hochfrequente Oszillationen, die das Ausgangssignal eines Spannungswandlers stören) grundsätzlich anders als die bisherigen Theorien erklären. Wir konnten zeigen, dass dieses Phänomen durch die kumulative Wirkung expandierender Funktionen verursacht wird, die anschließend durch kontraktive Funktionen kompensiert werden. Dies führte uns zur Entdeckung eines neuen Phänomens, nämlich des rauscheninduzierten Bubblings, das allein oder in Kombination mit Border-Collision-induziertem Bubbling auftreten kann. Wir erwarten, dass die neue Theorie im industriellen Umfeld anwendbar sein wird. Darüber hinaus haben wir über eine neue Art von Border-Collision- Bifurkationen beschrieben, bei denen eine abstoßende resonante geschlossene invariante Kurve mit der Schaltmannigfaltigkeit an einem Punkt des abstoßenden Zyklus kollidiert. Im Gegensatz zu anderen lokalen Border-Collision­Bifurkationen in stetigen stückweise glatten Modellen führt diese Bifurkation zur Entstehung einer anderen geschlossenen invarianten Kurve und einer globalen Umstrukturierung des Phasenraums. Des Weiteren haben wir zum Verständnis der Verdopplungsbifurkationen von geschlossenen invarianten Kurven beigetragen. Zudem haben wir eine parziell durch Bistabilität beeinflusste Period-Adding-Struktur beschrieben und den Mechanismus, der zur Bistabilität führt, erklärt. Darauf basierend haben wir identifiziert, welche Zyklen in der Period-Adding-Struktur von der Bistabilität betroffen sind. Außerdem entdeckten wir eine neue Klasse von Bifurkationen, nämlich Border-Collision-Bifurkationen chaotischer Attraktoren, die spezifisch für diskontinuierliche stückweise glatte Abbildungen mit mehreren Schaltmannigfaltigkeiten sind. Zwei neue Bifurkationen aus dieser Klasse wurden detailliert beschrieben. Schließlich zeigten wir, wie das kürzlich entwickelte Konzept der hidden orbits die Bifurkationstheorie für kontinuierliche und diskontinuierliche Abbildungen vereinheitlichen kann, was die Analyse der durch Border-Collision-Bifurkationen gebildeten Bifurkationsstrukturen erheblich vereinfacht.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Bifurcations of hidden orbits in discontinuous maps. Nonlinearity, 34(9), 6140-6172.
  Avrutin, Viktor & Jeffrey, Mike R.
  
• Border collision bifurcations of chaotic attractors in one-dimensional maps with multiple discontinuities. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 477(2253), 20210432.
  Avrutin, Viktor; Panchuk, Anastasiia & Sushko, Iryna
  
• Complex dynamics of a vibration machine caused by a relay feedback control. Physica D: Nonlinear Phenomena, 420, 132870.
  Zhusubaliyev, Zhanybai T.; Avrutin, Viktor; Rubanov, Vasily G. & Bushuev, Dmitry A.
  
• Border collision bifurcation of a resonant closed invariant curve. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 32(4).
  Zhusubaliyev, Zh. T.; Avrutin, V.; Sushko, I. & Gardini, L.
  
• Noise-induced and border-collision-induced bubbling. Physica D: Nonlinear Phenomena, 435, 133277.
  Avrutin, Viktor; von Schwerin-Blume, Lasse; Zhusubaliyev, Zhanybai T.; Haroun, Reham & El, Aroudi Abdelali
  
• Period adding with symmetry breaking/recovering in a power inverter with hysteresis control. Physica D: Nonlinear Phenomena, 444, 133600.
  Zhusubaliyev, Zhanybai. T.; Avrutin, Viktor; Kucherov, Andrey S.; Haroun, Reham & El, Aroudi Abdelali