Optimierungsprobleme mit Vanishing Constraints
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Projekt befasste sich mit einer speziellen Klasse nichtlinearer Optimierungsprobleme, die sog. verschwindende Nebenbedingungen enthalten. Dies sind Nebenbedingungen, die an manchen Punkten der zulässigen Menge unbeachtet bleiben, d.h. aus dem Problem verschwinden sollen. Die Schwierigkeit solcher Problem liegt darin, dass sie mit Standardmethoden der Nichtlinearen Optimierung nicht behandelbar sind, da gewisse Regularitätsbedingungen nicht erfüllt sind. Eine im Ingenieurbereich wichtige Anwendung solcher Probleme tritt bei der Designoptimierung mechanischer Strukturen auf. Dort wird der Entwurf einer Struktur in modernen Ansätzen durch Probleme der optimalen Materialverteilung modelliert. Die Hauptschwierigkeit ist dabei die realistische Modellierung von lokalen Spannungsnebenbedingungen, die zu sehr vielen verschwindenden Nebenbedingungen im zu lösenden Optimierungsproblem führen. Im Projekt wurden zunächst Optimalitätsbedingungen entwickelt und betrachtet, die an die spezielle Struktur von Problemen mit verschwinden Nebenbedingungen angepasst sind. Die Anwendung auf Probleme der Topologieoptimierung hat sich jedoch als i.w. nicht umsetzbar herausgestellt. Die Hauptschwierigkeit liegt dabei in der zentralen Gleichgewichtsbedingung. Weiter wurde die Entwicklung numerischer Methoden betrachtet, die an die mathematische Struktur verschwindender Nebenbedingungen angepasst sind und auf geeigneten Störungen des Originalproblems beruhen. Die Anwendung auf Probleme der Topologieoptimierung waren hier erfolgreich, zumindest bis zu einer gewissen Problemgröße. Weitere Untersuchungen zur mathematischen Struktur von Problemen der Topologieoptimierung haben den Verdacht erhärtet, dass in deren Optimallösungen in der Regel zwar keine Regularitätsbedingung erfüllt ist, aber unter Umständen doch (Standard-)Optimalitätsbedingungen gelten. Die Theorie zu allgemeinen MPVCs bzw. die angepassten Optimalitätsbedingungen und deren Constraint Qualifications standen recht früh zur Verfügung. Hier machten sich die Erfahrung der Würzburger Gruppe und deren Vorarbeiten bezahlt. Es war daher umso (negativ) überraschender, dass die Anwendung dieser Bedingungen bzw. dieser CQs in Topologieoptimierungsproblemen versagt, selbst wenn diese Probleme nur von akademischer Größe sind. Nur in speziellen Situationen sind Aussagen möglich, wann und wann nicht eine CQ erfüllt ist. Aussagen allgemeinerer Natur sind noch unbekannt. Eine positive Überraschung war, dass der „mathematischere“ Störungsansatz im Vergleich zum „direkten“ Störungsansatz unter Umständen bessere numerische Eigenschaften besaß. Hierzu müssen noch weitere Untersuchungen und Vergleiche unternommen werden. Bei Problemen der Topologieoptimierung erwies sich der Löser Ipopt als numerisch stabilste Alternative zur Lösung der gestörten Probleme. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass die Genauigkeit, mit der verschwindende Nebenbedingungen erfüllt werden konnen sehr von der möglichen Störung (d.h. vom Störparameter t) abhängen. Überraschend waren auch gewisse mathematische Resultate und Fragen, die sich erst am Ende des Projekts herauskristallisiert haben. So gibt es Hinweise darauf, dass gewisse (Standard-)Formulierungen von Problemen der Topologieoptimierung die faszinierende (aber hässliche) Eigenschaft besitzen, dass Optimalpunkte i.d.R. die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung erfüllen, aber keiner (auch angepassten) bekannten Regularitätsbedingung genügen. Hierzu sind weitere Untersuchungen notwendig, aber auch die Entwicklung neuer Lösungsmethoden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- (2007), Constraint Qualifications in Structural Topology Optimization Problems, Institut für Angewandte Mathematik, Technische Universität Dortmund, Dortmund, No. 356
Rasmussen, M.H., Achtziger, W. und Stolpe, M.
- (2008), A Smoothing-Regularization Approach to Mathematical Programs with Vanishing Constraints, Institut für Angewandte Mathematik und Statistik, Universität Würzburg, Würzburg, No. 284
Achtziger, W., Hoheisel, T. und Kanzow, Ch.
- (2008), On Topology Optimization With Vanishing Constraints, in: Schrefler, B.A. und Perego, U. (Eds.), Proceedings of the Eighth World Congress on Computational Mechanics (WCCCM8) and the Fifth European Congress of Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008), CD-ROM, B-31470-08, International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), Barcelona, Spain, Paper a2139
Achtziger, W. und Schürhoff, Ch.
