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Projekt
Parabolische Gruppen und Invarianten
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2017 bis 2020
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 338458954
Gruppen gehören zu den fundamentalen Objekten der mathematischen Forschung. Eine Gruppe besteht aus Symmetrien irgendeines Objekts. Eine Symmetrie kann nach einer anderen ausgeführt werden und diese Komposition betrachtet man gewöhnlich als Multiplikation. In den meisten Gruppen spielt die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle (zum Beispiel ist eine Ebenenspiegelung gefolgt von einer Rotation verschieden von der Rotation gefolgt von der Spiegelung) und wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, heißt die Gruppe kommutativ. Für jede beliebige Gruppe G kann durch "Abelianisierung" Kommutativität erzwungen werden, was zu einer kommutativen Gruppe A führt. Bei diesem Vorgang geht (oft sämtliche) Information verloren und die verlorene Information wird durch eine weitere Gruppe K reflektiert.Das Projekt beschäftigt sich mit der Frage, wie bestimmte Eigenschaften von Gruppen sich bezüglich Abelianisierung verhalten.Ein Beispiel sind die Eigenschaften F_n (n eine natürliche Zahl), die widerspiegeln, wie gut sich eine Gruppe durch eine endliche Menge von Daten beschreiben lässt. Gegeben eine Gruppe G aus einer bestimmten Klasse, wollen wir die Eigenschaften F_n simultan berechnen für alle Untergruppen H von G, die unter Abelianisierung genauso viel Information verlieren, wie G.In vielen bekannten Fällen können die Untergruppen, die vom Typ F_n sind durch ein Polyeder parametrisiert werden, das von einer völlig anderen Eigenschaft herrührt: eine Gruppe kann zu einer reicheren Struktur (einem Gruppenring) erweitert werden, indem man neben Multiplikation auch Addition zulässt. Dadurch kann man mit Matrizen mit Einträgen in dem Gruppenring betrachten. Die erwähnten Polyeder erhält man, indem man bestimmte Matrizen auf ein einzelnes Gruppenring-Element reduziert und dieses dann abelianisiert.Die dritte Eigenschaft (höhere Erzeugbarkeit) ist verwandt zu den Eigenschaften F_n. Dabei wird die Gruppe durch Untergruppen beschrieben, anstelle von Gruppenelementen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
Teilprojekt zu
SPP 2026:
Geometrie im Unendlichen
