Geometrische Operatoren auf singulären Räumen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Bernd Eberhard Ammann; Professorin Dr. Nadine Große
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 338892245

Randwertprobleme werden und wurden intensiv untersucht, da sie viele Anwendungen in der Physik, Geometrie und Numerik haben. Ist der Rand glatt, so haben wir ein sehr gutes Verständnis der gewöhnlichen Dirichlet- und Neumannrandbedingungen. Dann hängt die Regularität der Lösung nur von der der Randwerte und der des Bildes unter dem betrachteten Operators ab. Für Ränder mit Singularitäten ist dieses Problem noch nicht vollständig verstanden, insbesondere in höheren Dimensionen. In diesem Projekt studieren wie die Wohlgestelltheitsfrage für den Laplaceoperator mit gemischten Randwerten auf singulären Räumen. Regularitäts- und Wohlgestelltheitsfragen sind auch in numerischen Anwendungen sehr wichtig. So bestimmt zum Beispiel die Sobolev-Skala die Konvergenzordnung eines Standard-Galerkin-Algorithmus. Die unserem Programm zugrundeliegende Idee ist, dass eine konforme Änderung der Metrik mittels einer geeigneten Gewichtsfunktion ein Gebiet mit stratifiziertem Rand in eine nichtkompakte Mannigfaltigkeit mit Rand und beschränkter Geometrie transformiert werden kann. Dabei werden die Singularitäten des Randes nach unendlich abgebildet. Während Resultate zur Wohlgestelltheit auf singulären Räumen immer in gewichteten Sobolevräumen leben, können wir mittels einer solchen konformen Transformation das Randwertproblem, welches durch Transfer auf die nichtkompakte Mannigfaltigkeit beschränkter Geometrie entsteht, mit der Standard-Sobolev-Skala behandeln. Dies wird eine einheitliche Behandlung von allgemeineren Singularitäten auch in höheren Dimensionen ermöglichen.Im zweiten Teil unseres Projektes untersuchen wir nichtrelativistische Schrödingeroperatoren für N Elektronen in einem coulomb-artigen Potential. Insbesondere interessieren wir uns für die Regularität von Eigenfunktionen. Diese Frage ist sehr relevant in physikalischen und chemischen Anwendungen, da sie dazu beiträgt, verbesserte adaptive Algorithmen für numerische Berechnungen der Eigenfunktionen zu finden. Obwohl dieses Problem von unseren obigen Regularitätsfragen verschieden ist, können ähnliche Ideen angewendet werden. Wir behandeln die Singularitäten des Potentials, also die Punkte der Elektron-Elektron- bzw. Elektron-Kern-Kollisionen, wie Singularitäten der Randwertprobleme und blasen wieder auf. Diese Technik kombinieren wir mit schon existierenden Methoden wie die Existenz natürlicher Kompaktifizierungen. Wir integrieren auch die Kustaanheimo-Stiefel Transformation in unseren Ansatz. Das ist eine Methode, welche ursprünglich für Coulombpotentiale in der klassischen Mechanik und für den Beweis starker Regularitätsresultate für Schrödingereigenfunktionen in Zwei-Teilchen-Kollisionen angewendet wurde. Auch für Schrödingereigenfunktionen können unsere Resultate als Startpunkt für zukünftige numerische Algorithmen dienen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen