Ränder, Greensche Formeln und harmonische Funktionen für Graphen und Dirichleträume

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Keller; Professor Dr. Daniel Lenz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 339133485

Ein Dirichletraum ist ein lokalkompakter separabler metrischer Raum zusammen mit einer Dirichletform. Damit sind also Dirichleträume spezielle metrische Maßräume mit einer zusätzlichen Struktur.Beispiele für Dirichleträume sind (gewichtete) Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Fraktale und Graphen. Jede Dirichletform liefert einen selbstadjungierten Operator, den sogenannten Generator, und einen zugehörigen Markovprozess. Im Falle Riemannscher Mannigfaltigkeiten ist der Generator gerade der Laplace-Beltrami-Operator und der zugehörige Markovprozess ist die Brownsche Bewegung, im Falle von Fraktalen ist der Generator ein Laplaceoperator und der zugehörige Markovprozess ist eine Brownsche Bewegung. Im Falle von Graphen ist der zugehörige Generator der Graphen-Laplace und der zugehörige Markovprozess ist ein Sprungprozess. Insgesamt ermöglichen Dirichletformen so einen analytischen Zugang zu (Versionen) der Brownschen Bewegung auf dem zugrundeliegenden Raum.Im Rahmen von Dirichleträumen besteht ein starkes Wechselspiel zwischen geometrischen Eigenschaften des zugrundeliegenden Raumes, spekralen Eigenschaften des Generator und stochastischen Eigenschaften des Prozesses.Im Projekt geht es um dieses Wechselspiel mit einem Fokus of globalen Eigenschaften, d.h. auf Eigenschaften der ''Geometrie weit draußen'' und entsprechenden spektralen und stochastischen Merkmalen. Dabei werden zwei Zugänge verfolgt. Der eine Zugang konzentriert sich auf die Kompaktifizierung mittels des Royden Randes und entsprechende Randterme und Greensche Formeln. Angestrebt wird dabeia) den Royden Rand als metrischen Rand darzustellen,b) die selbstadjungierten Markoverweiterungen von Dirichletformen durch Dirichletformen auf dem Rand zu beschreiben,c) die selbstadjungierten Erweiterungen des Laplace auf (Bündeln über) Graphen durch Randbedingungen zu beschreiben,d) globale Eigenschaften des Markovprozesses wie Rekurrenz, stochastiche Vollständigkeit und Markovsche Eindeutigkeit, durch Verschwinden von Randtermen zu beschreiben.Im zweiten Zugang werden Eigenschaften der Geometrie ''weit draußen'' durch verallgemeinerte Eigenfunktionen erfasst. Dabei soll a) Abwesenheit von nicht-trivialen, harmonischen Funktionen in $L^p$ für allgemeine Dirichleträume gezeigt werden,b) Schranken an die Dimension des Raumes polynomiell beschränkten harmonischer Funktionen für Graphen angegeben werden,c) der Träger von Eigenfunktionen untersucht werden,d) Abschätzungen zum Abfallverhalten von Eigenfunktionen für Graphen gegeben werden.Die zwei genannten Zugänge sind eng verknüpft und dies explizit zu machen ist ein weiterer Teil des Projektes.Im Vordergrund des Projektes steht die nicht-glatte, nicht-lokale Situation von Graphen. Methodisch soll es um Argumente gehen, die auf allgemeine Dirichleträume verallgemeinerbar sind. So kann die Untersuchung von Graphen als erster Schritt hin zu einer entsprechenden Theorie allgemeiner Dirichleträume gelten.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen