Spektrale Analysis Sub-Riemannscher Strukturen

• Antragsteller: Professor Dr. Wolfram Bauer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 339362576

Dieses Projekt ordnet sich in einen Bereich zwischen Differentialgeometrie und globaler Analysis ein. Wir untersuchen sub-Riemannsche Strukturen auf glatten kompakten und nicht-kompakten Mannigfaltigkeiten. In diesem Zusammenhang betrachten wir das inverse Spektralproblem für sub-elliptische Operatoren und fragen inwieweit sich geometrische Daten der Mannigfaltigkeit aus dem Spektrum natürlich induzierter Differentialoperatoren zweiter Ordnung (Sub-Laplace Operatoren) ablesen lassen. Eine sub-Riemannsche Geometrie läßt sich als Grenzwert einer Familie Riemannscher Geometrien im Gromov-Hausdorff Sinn auffassen, wenn die Riemannschen Metriken transversal zur definierenden Distribution singulär werden. Auf diese Weise kann man eine sub-Riemannsche Geometrie als Geometrie im Unendlichen interpretieren. Das Projekt gliedert sich in drei Teile. Der erste Teil ist rein geometrisch. Hier sollen neue und vom spektral-analytischen Gesichtspunkt interessante sub-Riemannsche Strukturen auf speziellen Mannigfaltigkeiten konstruiert werden. Der Schwerpunkt der Forschung in Teil II und III liegt auf der Spektralanalysis. Wir planen die Untersuchung sub-elliptischer Operatoren, die durch sub-Riemannsche Strukturen auf Liegruppen, symmetrischen Räumen und deren Quotienten sowie den neuen Beispielen in Teil I induziert sind. Grenzwerte bzw. das asymptotische Verhalten von Spektralfunktionen sind wichtige Werkzeuge der Theorie und liefern typischerweise Invarianten der Mannigfaltigkeit. Unter anderem planen wir die Konstruktion sub-Riemannscher Strukturen auf exotischen Sphären. Aus systematische Weise sollen Familien neuer isospektraler (bzgl. des Sub-Laplace Operators) jedoch nicht diffeomorpher Nilmannigfaltigkeiten konstruiert werden. Explizite Formen des Wärmeleitungskerns des Laplace Operators auf Differentialformen sollen gefunden und das Grenzverhalten unter einem adiabatischen Limes untersucht werden. Dieses Projekt hat enge Verbindungen zu anderen Themen des SPP 2026 wie etwa Pfadintegralformeln, Indextheorie nicht-elliptischer Operatoren oder Stabilität des Spektrums.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen