Asymptotische Geometrie der Modulräume von Kurven

• Antragsteller: Professor Roger Bielawski
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 339871735

Es gibt mehrere wichtige geometrische Strukturen, die durch ihren Twistorraum, d.h. einen Parameterraum von reellen rationalen Kurven in einer komplexen Mannigfaltigkeit, konstruiert und untersucht werden koennen. Natuerliche Beispiele solcher geometrischen Strukturen (u.a. hyperkaehlersche Metriken) haben grosse Bedeutung in verschiedenen Gebieten der Mathematik und der mathematischen Physik: z.B. Koechervarietaeten in der Darstellungstheorie, Modulraeume von Hitchin in der algebraischen Geometrie und in der Theorie der integrablen Systeme, eichfeldtheoretische Modulraeume von Monopolen und Instantonen in der mathematischen Physik.Viele von den oben genannten Beispielen koennen auch als Modulraeume von Kurven eines hoeheren Geschlechts in einer 3-dimensionaler komplexen Mannigfaltigkeit mit antiholomorpher Involution konstruiert werden.Das Ziel dieses Projekts is die Untersuchung der Geometrie solcher Modulraeume; insbesondere wollen wir die globale und die asymptotische Geometrie der glatten Orte der Hilbertschemata von stabilen reellen algebraischen Kurven in nicht-kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten untersuchen.Die Hauptziele des Projekts lauten:1) neue Beispiele von interessanten differentialgeometrischen Strukturen zu gewinnen (inklusiv hyperkaehlersche und quaternion-K\"ahlersche Metriken und plurikomplexe Strukturen);2) die globalen Eigenschaften dieser Beispiele zu untersuchen, insb. ihre Vollstaendigkeit;3) die asymptotische Geometrie und geometrische Kompaktifizierungen der Mannifaltigkeiten, die als solche Modulraeume entstehen, mithilfe der Kompaktifizierung der entsprechenden komplexen Mannifaltigkeit zu untersuchen. Wir hoffen, dass dieser Ansatz zu Antworten auf wichtige Fragen (z.B. die Sen- und die Vafa-Witten-Vermutung) fuehren wird, die mit der asymptotischen Geometrie der in der Physik wichtigen Mannigfaltigkeiten wie Monopol- oder Hitchin-Modulraeume zu tun haben.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen