Hitchin-Komponenten für Orbifolds

• Antragsteller: Dr. Daniele Alessandrini, Ph.D.; Dr. Gye-Seon Lee
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 340014145

Teichmüllerräume parametrisieren die Räume aller hyperbolischer Strukturen auf einer Fläche. Sie können alternativ als Räume aller diskreten und injektiven Darstellungen der Fundamentalgruppe der Fläche in PSL(2,R) beschrieben werden. Solche Darstellungen werden Fuchssche Darstellungen genannt.Die höhere Teichmüllertheorie versucht, die Theorie der Teichmüllerräume zu verallgemeinern, indem die Gruppe PSL(2,R) durch eine andere Liegruppe G ersetzt wird. Im vorliegenden Projekt wird meist die Gruppe PSL(n,R) verwendet werden. Hitchin-Darstellungen sind ein spezieller Typ von Darstellungen der Flächengruppe in PSL(n,R), deren Eigenschaften denen Fuchsscher Darstellungen ähneln. Die Menge aller solcher Darstellungen wird Hitchin-Komponente genannt, und ist eine mögliche Verallgemeinerung von Teichmüllerräumen.In diesem Projekt soll das Studium der Hitchin-Komponenten auf eine größere Familie von Gruppen ausgeweitet werden, und zwar auf Fundamentalgruppen zweidimensionaler Orbifolds. Diese Familie von Gruppen beinhaltet beispielsweise zweidimensionale hyperbolische Coxetergruppen. Der Fall von PSL(2,R) wurde bereits von Thurston untersucht, der zu diesem Zweck hyperbolische Strukturen auf Orbifolds eingeführt und ihre Teichmüllerräume studiert hat. Der Fall von PSL(3,R) wurde von Choi und Goldman behandelt. Hier soll nun der allgemeine Fall von Hitchin-Komponenten von Orbifoldgruppen in PSL(n,R) analysiert werden. Wir konnten bereits zeigen, dass Hitchin-Komponenten homöomorph zu Vektorräumen sind, und eine Formel für ihre Dimension herleiten.Das Ziel dieses Projekts ist eine genauere Analyse und ein besseres Verständnis dieser Hitchin-Komponenten. Die interessantesten Fälle sind jene "kleiner" Orbifolds, deren Hitchin-Komponenten von Dimension 0, 1 oder 2 sind. Wir konnten bereits alle Hitchin-Komponenten von Dimension 0 klassifizieren - diese sind insbesondere sehr interessant, da sie überraschende Beispiel von Starrheit liefern. Als Anwendung auf den Deformationsraum reell projektiver Strukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten liefert diese Klassifikation Beispiele von Seifert-gefaserten 3-Mannigfaltigkeiten, die eine starre reell projektive Struktur besitzen.Der Fall von Hitchin-Komponenten der Dimension 1 ist ebenfalls sehr interessant, da die Geometrie dieser Komponenten einfach zu verstehen sein könnte. Darüber hinaus sind sie gute Kandidaten, um Entartungsphänomene zu untersuchen, die auftreten, wenn eine Folge von Darstellungen divergiert.Es sollen weiterhin geometrische Koordinaten für diese Hitchin-Komponenten von Orbifoldgruppen entwickelt werden, die eine geeignete Verallgemeinerung von Fock-Goncharov-Koordinaten darstellen. Explizite Parametrisierungen können sehr hilfreich für das Verständnis dieser Deformationsräume sein.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen