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Neue Nichtnegativitätszertifikate und ihre Anwendung in den Natur- und Ingenieurswissenschaften

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2017 bis 2023
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 341488811
 
Erstellungsjahr 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Dieses Emmy Noether-Projekt untersucht Summen nichtnegativer Circuitpolynome (SONG). Nichtnegativität reeller Polynome ist seit dem 19. Jahrhundert ein Kernproblem der reell algebraischen Geometrie. Da Nichtnegativitätsprobleme sowohl NP-schwer als auch in der Praxis notorisch schwierig zu lösen sind, attackiert man solche Probleme mit Nichtnega­ tivitätszertifikaten. Diese Zertifikate müssen Nichtnegativität implizieren, einfacher zu testen sein und für viele nichtnegative Polynome erfüllt sein. Ein klassisches Nichtnegativitätszertifikat sind Summen von Quadraten (SOS), die mit semidefiniten Programmen berechnet werden können. 2014 haben lliman und ich sums of nonnegative circuit polynomials (SONG), die durch relative entropy programs berechnet werden können, als ein neues Zertifikat vorgeschlagen. SONCs sind im Allgemeinen keine SOS. Sie bilden einen volldimensionalen, konvexen Kegel im Kegel der nichtnegativen Polynome (über einem beliebigen Träger A). In diesem Emmy Noether-Projekt setzen wir eine Vielzahl von Meilensteinen zur Etablierung von SONCs als Nichtnegativitätszertifikat. Neben anderen Resultaten beschreiben wir den algebraischen Rand des SONG-Kegels via Λ-discriminants - regulären Funktionen, die engen Bezug zu klassischen A-Diskriminanten haben. Wir erweitern ein Korrespondenzresultat zwischen Nichtnegativität von Gircuitpolynomen und Amöben. Wir untersuchen kombinatorische Eigenschaften von maximal mediated sets, einer Teilmenge der Gitterpunkte im Newtonpolytop eines Polynoms, die entscheiden, ob ein nichtnegatives Gircuitpolynom SOS ist. Wir zeigen, dass die duale Version von SONG Zertifikaten durch lineare Programme beschreibbar. Wir führen zudem den DSONC-Kegel ein, einen Unterkegel des SONG-Kegels, der Stärken des primalen und des dualen SONG Kegels vereint, und zeigen eine Reihe struktureller Eigenschaften dieses Kegels. Wir implementieren erste Algorithmen zur Berechnung von SONCs und zeigen experimentell auf einer großen Menge zufällig erzeugter Polynome, dass diese in der Praxis sehr schnelle Laufzeiten bei moderat schlechteren Schranken gegenüber SOS haben. Außerdem wenden wir SONCs auf eine ganze Reihe von Problemen in den Natur- und Ingenieurswissenschaften an: Durch Ausnutzen von SONCs beweisen wir neue Schranken für Mono­ vs. Multistationarity im Parameterraum von 2- bzw. n-site Phosphorylation, einer wichtigen Klasse chemischer Reaktionsnetzwerke. Wir zeigen, dass SONCs gehaltvolle Zertifikate für proof systems zur Analyse von Algorithmen in der theoretischen Informatik sind, und beweisen zudem eine ganze Reihe von Resultaten zum Vergleich solcher proof systems. Wir zeigen ferner, dass SONCs im Allgemeinen kein Äquivalent von Putinar's Positivstellensatz besitzen. Als dritte Anwendung zeigen wir erste Resultate zur Verwendung von SONCs zur Berechnung von Lyapunovfunktionen zur Zertifizierung von Stabilität in dynamischen Systemen. Darüber hinaus liefern wir Beiträgen zur Entwicklung einer auxetic 3D Tensegrity in den Materialwissenschaften, wir entwickeln Algorithmen zur symbolischen Zertifizierung von SONCs, und wir zeigen, dass Nichtnegativität symmetrischer SONCs durch die klassische Muirheadungleichung bewiesen werden kann.

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