Rechnergestützte Gruppenkohomologie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Kohomologie endlicher Gruppen ist ein Forschungsthema, das Teile der Modularen Darstellungstheorie, der Gruppentheorie und der Algebraischen Topologie zu einer Einheit verbindet. Viele strukturelle Beziehungen lassen sich als gruppentheoretische Beschreibungen der Kommutativen Algebra des Kohomologierings ausdrücken. Fortschritte in der Theorie und bessere Methoden für Computerberechnungen treiben sich hier gegenseitig voran. Datenbanken von berechneten Kohomologieringen sind ein wichtiges Werkzeug, um bestehende Vermutungen zu testen und neue Muster zu erkennen. Wir berechneten die modularen Kohomologieringen aller 2328 Gruppen der Ordnung 128 und wiesen Bensens Regularität-Vermutung (starke Form) in vielen Fällen nach. Für das Computeralgebra-System SAGE entwickelten und veröffentlichten wir ein Gruppenkohomologie-Paket, das unsere Berechnungen als Datenbank enthält: So können andere Mathematiker bequem ihre Ideen an unseren Daten testen. Nachdem die Berechnung der 267 Gruppen der Ordnung 64 mehrere Jahre gedauert hat, waren wir positiv überrascht, dass wir die Gruppen der Ordnung 128 bereits innerhalb der ersten Förderphase berechnen konnten. Wir haben die modulare Kohomologie von vielen anderen Gruppen berechnet, darunter die Higman-Sims-Gruppe und die dritte Conway-Gruppe. Wie von Benson vorhergesagt, hat die Mod-2-Kohomologie der Conway-Gruppe die Cohen-Macaulay-Eigenschaft: Dies macht die Gruppe interessant in der Algebraischen Topologie. Aktive Folgeprojekte betreffen Kohomologie und Koklasse; Essentielle Kohomologie und metabelsche Gruppen; und - als eine Verallgemeinerung - Ext-Algebren von Basisalgebren.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A∞-Strukturen und Gruppenkohomologie. Dissertation, Friedrich-Schiller-Universität Jena, 2008
M. Vejdemo Johansson
- Essential cohomology for elementary abelian ρ-groups. J. Pure Appl. Algebra 213 (2009), 2238-2243
F Altunbulak Aksu and D. J. Green
- Blackbox computation of A∞-algebras. Georgian Math. J. 17 (2010), 391-404
M. Vejdemo Johansson
- Modular cohomology rings of finite groups
D. J. Green and S. King
- The computation of the cohomology rings of all groups of order 128. J. Algebra 325 (2011), 353-363
D. J. Green und S. A. King
- The mod-2 cohomology ring of the third Conway group is Cohen-Macaulay. Algebr. Geom. Topol. 11 (2011), 719-734
S. A. King, D. J. Green und G. Ellis
- Sage-Paket „ρ-Group Cohomology Package"
S. King und D. J. Green
