Stabile Zeitintegratoren für die nichtlineare Thermoviskoelastodynamik

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Michael Groß
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2006 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 34732583

• Erstellungsjahr: 2011

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Wesentliche Ergebnisse. In diesem Projekt wurden erstmals Galerkin-basierte Zeitintegratoren höherer Genauigkeitsordnung für die finite Thermoviskoelastodynamik konstruiert, welche gegenüber gewöhnlichen impliziten Runge-Kutta-Verfahren eine überagende Stabilität bei der Simulation dynamischer Prozesse zeigten. Der Stabilitätsgewinn wurde erreicht, indem eine numerisch-exakte Erhaltung physikalischer Bilanzaussagen über Impuls, Drehimpuls und Energie während der Bewegung des betrachteten Festkörpers erfolgte (physikalische Konsistenz). Der Stabilitätsgewinn bei gleicher räumlicher Vernetzung und Materialparametrisierung äußerte sich durch größere maximale Zeitschrittweiten und eine größere Robustheit bei Zeitschrittweitenwechseln. Zentral bei der Erreichung der physikalischen Konsistenz war die Einführung eines algorithmischen Spannungstensors in der Bewegungsgleichung. Es konnte gezeigt werden, dass der algorithmische Spannungstensor das Auftreten von künstlichen Spannungswellen verhindert, welche bei den gewöhnlichen impliziten Runge-Kutta-Verfahren die Divergenz des Multilevel-Newton-Verfahrens auslösen. Jedoch wurde erkannt, dass diese Modifikation für thermomechanisch gekoppelte Probleme nicht ausreicht. Es musste eine Kombination verschiedener Galerkin-Methoden in der Zeit neu entwickelt, sowie ein algorithmischer Viskositätstensor eingeführt werden. Ein weiterer Aspekt war die Entwicklung von auf den physikalisch-konsistenten Zeitintegrator zugeschnittener Abbruchkriterien für das verwendete Multilevel-Newton-Verfahren. Das Ziel war dabei die Iterationszahl bei großen Zeitschrittweiten gegenüber den Standardverfahren zu senken, um den größeren Zeitaufwand auf Elementebene von physikalisch konsistenten Zeitintegratoren gegenüber den gewöhnlichen impliziten Runge-Kutta-Verfahren aufzufangen. Somit benötigte ein implizites Runge- Kutta-Verfahren bei großen Zeitschritten mehr Simulationszeit. Ausblick auf zukünftige Arbeiten. Bei der Diskretisierung von Kontinua kann nach einer Lagrangeschen und einer Hamiltonschen beziehungsweise Poissonschen Beschreibung unterschieden werden. Eine Lagrangesche Beschreibung basiert auf den beobachtbaren Feldern Deformation, Geschwindigkeit und Temperatur. Die Evolutionsgleichungen sind aber partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in der Zeit auf Basis der energetisch konjungierten Feldern Impuls und Entropie, welche aber als abhängige Felder betrachtet werden. Eine Hamiltonsche beziehungsweise Poissonsche Beschreibung entspricht einer klassischen Zustandsraumdarstellung. Sie ist nur mit dem energetisch konjungierten Impuls- und Entropiefeld als unabhängige Variablen zu formulieren. Der Vorteil dieser Beschreibung liegt in einem direkt abschätzbaren nichtlinearen Stabilitätsverhalten, welches auch auf das Verhalten numerischer Algorithmen Einfluß nimmt. Da in diesem Projekt die Felder aus der Lagrangesche Beschreibung diskretisiert wurden, wäre ein nächster Schritt die Poissonsche Beschreibung zu diskretisieren. Mögliche Anwendungen. Das Ziel in vielen Industriezweigen ist das Rapid Product Development, in dem durch eine virtuelle Vorentwicklung von Produkten mittels Software-Anwendung Entwicklungskosten und -zeiten gesenkt werden. Dabei spielen transiente Simulationen bewegter deformierbarer Körper, zum Beispiel für Bauraumuntersuchungen in der Produktentwicklung (Computer Aided Engineering) oder -fertigung (Computer Aided Manufacturing), eine immer größer werdende Rolle. In diesem Rahmen können die entwickelten Algorithmen bei der Simulation elastomerer Kunststoffe Anwendung finden. Deshalb weckten die erzielten Ergebnisse bei einem anwendungsnahen mathematischen Forschungsinstitut großes Interesse. Aus einer Präsentation der Ergebnisse dieses Projektes heraus entstand eine Kooperation mit dem Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern zur Betreuung eines wissenschaftlichen Mitarbeiters bei der Simulation dynamischer Belastungen von Querlenkerlagern aus Elastomeren für die Automobilindustrie.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Galerkin methods in time for semi-discrete viscoelastodynamics. Proc. Appl. Math. Mech., 5:397–398, 2005
  Groß M. and Betsch P.
  
• Galerkin-based discretisation of infinite-dimensional dissipative dynamical systems. Proceedings of the ICCES Conference, India, pp. 2646–2651, December 2005
  Groß M. and Betsch P.
  
• An energy consistent hybrid space-time Galerkin method for nonlinear thermomechanical problems. Proc. Appl. Math. Mech., 6:443–444, 2006
  Groß M. and Betsch P.
  
• An energy consistent hybrid space-time finite element method for nonlinear thermo-viscoelastodynamics. In M. Papadrakakis, E. Oñate and B. Schrefler, editors, Computational Methods for Coupled Problems in Science and Engineering II, CIMNE Barcelona, Spain, 2007
  Groß M. and Betsch P.
  
• Higher-order energy consistent time integrators for nonlinear thermo-viscoelastodynamics. Proc. Appl. Math. Mech., 7:404007–404008, 2007
  Groß M. and Betsch P.
  
• Mechanical integrators for mixed elements in nonlinear elastodynamics. Proc. Appl. Math. Mech., 7:4040011–4040012, 2007
  Müller M. and Betsch P.
  
• On deriving higher-order and energy-momentum-consistent time-stepping-schemes for thermo-viscoelastodynamics from a new hybrid space-time Galerkin method. In C.L. Bottasso, P. Masarati and L. Trainelli, editors, Proceedings of the ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dynamics, Politecnico di Milano, Italy, 2007
  Groß M. and Betsch P.
  
• Material models in principal stretches for elastodynamics. Proc. Appl. Math. Mech., 8:10315–10316, 2008
  Müller M., Groß M. and Betsch P.
  
• Stable long-term simulation of dynamically loaded elastomers. Proc. Appl. Math. Mech., 8:10501–10502, 2008
  Groß M. and Betsch P.
  
• Dynamic finite deformation viscoelasticity and energy-consistent time integration. Proc. Appl. Math. Mech., 9:365–366, 2009
  Müller M., Groß M. and Betsch P
  
• Dynamic finite deformation viscoelasticity in principal stretches: Energy-consistent time integration using mixed finite elements. In M. Papadrakakis, N.D. Lagaros and M. Fragiadakis, editors, Proceedings of the ECCO-MAS Thematic Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and EarthQuake Engineering, Rhodes Island, Greece, 22-24 June 2009
  Müller M., Groß M. and Betsch P.
  
• Higher-order accurate and energy-momentum consistent discretisation of dynamic finite deformation thermo-viscoelasticity. Habilitationsschrift, Fachbereich Maschinenbau, Universität Siegen, 2009
  Groß M.
  
• Higher-order energy-momentum consistent time-stepping schemes for dynamic finite thermo-viscoelasticity. Proc. Appl. Math. Mech., 9:367– 368, 2009
  Groß M. and Betsch P.
  
• Energy-momentum consistent finite element discretization of dynamic finite viscoelasticity. Int. J. Numer. Meth. Engng., 81:1341–1386, 2010
  Groß M. and Betsch P.
  
• On the consistent discretization in time of nonlinear thermo-elastodynamics. Proc. Appl. Math. Mech., 10:183–184, 2010
  Krüger M., Groß M. and Betsch P.