Energiefokussierung in dünnen elastischen Strukturen und isometrische Immersionen

• Antragsteller: Professor Dr. László Székelyhidi, seit 9/2018
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 350398276

Das Ziel des vorliegenden Projekts ist die Verbesserung des mathematischen Verständnisses von dünnen elastischen Strukturen. Es besteht aus zwei Teilen.Im ersten Teil werden wir Variationsprobleme betrachten, die dünne elastische Scheiben im sogenannten "Post-buckling-Regime" modellieren sollen. Dieses Regime ist durch die Fokussierung der freien elastischen Energie in Kanten und Spitzen charakterisiert.Ein besseres Verständnis dieser Phänomene ist auch für die Physik und Ingenieurswissenschaft relevant.In der vorliegenden Situation ist zu erwarten, dass die in der Natur auftretenden Konfigurationen nahe bei den Minima der (freien) elastischen Energie liegen. Aus dieser Motivation heraus werden wir die Minimierung der Energie in verschiedenen Settings untersuchen und Skalengesetze für das Minimum der Energie aufstellen. Der (kleine) Skalenparameter wird dabei die Dicke der Scheibe sein. Unser Ziel ist eine rigorose mathematische Begründung für die Ausbildung von Kanten und Spitzen, in denen sich Energie fokussiert.In den betrachteten Energien misst der Term führender Ordnung die Distanz der elastischen Verformung zu einer isometrischen Immersion. (Eine Immersion wird isometrisch genannt, falls die Metrik, die durch Zurückziehen der Metrik im Bildbereich induziert wird, mit der Referenzmetrik im Definitionsbereich übereinstimmt.) Damit besteht ein direkter Zusammenhang zwischen den genannten Variationsproblemen und Fragen zu isometrischen Immersionen, insbesondere zu deren Eindeutigkeit. Diese Fragen sind der Fokus des zweiten Teils des Projekts.Die Eindeutigkeit von isometrischen Immersionen hängt stark von der verlangten Regularität ab. Es besteht die Vermutung, dass es eine kritische Regularität gibt, oberhalb derer isometrische Immersionen eindeutig sind (bis auf Translationen und Rotationen, und unter weiteren geeigneten Voraussetzungen). Ein bekanntes Theorem besagt, dass endliche extrinsische Krümmung solche Eindeutigkeit impliziert. Wir werden uns also versuchen zu zeigen, dass in dem von uns gewählten Setting die extrinsische Krümmung wohldefiniert ist. Bei Betrachtung in einem Koordinatensystem wandelt sich diese Aufgabe dazu zu zeigen, dass distributionelle Jacobi- und Hessedeterminanten in einem geeigneten Funktionenraum liegen. Diese distributionellen Determinanten sind die zentralen Objekte des zweiten Teils des Projekts.Unser Maximalziel ist die Verbesserung der bekannten Eindeutigkeitsresultate für isometrische Immersionen mit hölderstetigen Ableitungen. Dabei soll die Verbesserung in der Erweiterung ihres Gültigkeitsbereichs hin zu Funktionen mit niedrigerer Regularität liegen. Die Verbindung zum ersten Teil des Projekts liegt vor allem im Studium der extrinsischen Krümmung, die auch bei der Herleitung von Skalengesetzen eine wichtige Rolle spielt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Ehemaliger Antragsteller: Dr. Heiner Olbermann, bis 8/2018