Topologische Ableitungen zur Layout-Findung crashbelasteter Strukturen
Konstruktion, Maschinenelemente, Produktentwicklung
Leichtbau, Textiltechnik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Innerhalb des geförderten Forschungsprojekts wurde mithilfe der sogenannten adjungierten Methode die Topologische Ableitung für crashbelastete Strukturen entwickelt. Die Topologische Ableitung gibt dabei an, ob sich ein Funktional durch Einbringen einer Aussparung verbessern würde, oder nicht. Mit den Forschungsergebnissen können jetzt transiente Belastungen unter Berücksichtigung von Trägheitskräften, große Verformungen und Material-Nichtlinearitäten behandelt werden. Bei der adjungierten Methode wird das Funktional, für das die Topologische Sensitivität ermittelt werden soll, mit einem Lagrange-Multiplikator und den mechanischen Gleichgewichtsbedingungen erweitert. Der Multiplikator wird auch Adjungierte genannt und wird so gewählt, dass implizite Ableitungen beispielsweise der Verschiebungen nach der Entwurfsvariablen nicht mehr benötigt werden. Bei transienten Problemen ist für die Berechnung der Adjungierten ein Endwertproblem zu lösen. Je nachdem ob zuerst differenziert wird und anschließend die zeitliche Diskretisierung erfolgt oder umgekehrt, entsteht ein eigenes Lösungsschema, das sich überraschenderweise nicht in das jeweils andere überführen lässt. Die Entwicklung wurde hier bewusst allgemein gehalten, so dass das adjungierte Lösungsschema auch für Funktionale, die Geschwindigkeiten oder sogar Beschleunigungen beinhalten gültig ist. Für zwei Funktionale, die innere Energie einer Struktur und die Verschiebung eines Einzelpunktes, wurde die Topologische Ableitung in analytischer Form hergeleitet. Es verbleiben dabei Integralterme auf dem fiktiven Aussparungsrand, deren Auflösung analytisch nicht mehr möglich ist. Die ursprüngliche Idee, diese Integration durch eine Meta-Modellierung zu ersetzen, wurde durch eine Materialinterpolation ersetzt, die das durch plastische Dehnung und kinematische Verfestigung entstandene Materialverhalten temporär linearisiert wiedergibt. Die Handhabung der Datenmengen stellte hier eine besondere Herausforderung dar. Um den Kontakt zwischen Strukturen zu berücksichtigen wird ein eigener Lagrange-Multiplikator für die Kontaktformulierung benötigt. Da hier auf die aktuellsten Resultate aus der Forschung zur Optimierung mit Dichtemethoden zurückgegriffen werden kann, wurde diese Untersuchung durch eine Verifikation im Grenzbereich zur linearen Topologieoptimierung ersetzt. Zur Verifikation wurde die Topologische Ableitung der inneren Energie unter Berücksichtigung der Trägheitskräfte auf den Euler-Bernoulli-Balken unter quasistatischer Einzelkraft angewendet. Die Adjungierte der inneren Energie ist immer eine freie Schwingung, da sie nur durch die Endwerte initiiert wird und außer den geometrischen Randbedingungen keinen weiteren Zwängen unterliegt. Als wichtigste Erkenntnis konnte daraus geschlossen werden, dass die Wahl des Zeitschritts der Crashberechnung für eine Sensitivitätenberechnung immer dem Zwang unterliegt, die dominierenden Schwingungen der Adjungierten abbilden zu können, egal ob implizite oder explizite Zeitintegration verwendet wird. Wird bei der quasistatischen Belastung des Balkens ebenfalls die Trägheit berücksichtigt, ergibt sich eine Abhängigkeit der Sensitivität von der Lage des Endzeitpunkts der Belastung innerhalb des Phasendurchgangs einer Schwingung. Für den Einsatz der Topologischen Ableitung in der Strukturoptimierung wurden zwei unabhängige Optimierungsstrategien verfolgt. Die rein Finite-Elemente-basierte Strategie, bei der Bereiche mit geringer Sensitivität schrittweise aus der Struktur entfernt werden, und eine CAD- basierten Strategie, bei der sukzessive parametrisierte Löcher in die Struktur eingebracht werden und deren Form mit mathematischen Methoden optimiert wird. Die Finite-Elemente-basierte Methode ist einfacher in der Anwendung. Bei der CAD-Strategie ist die Vorbereitung der Optimierung aufwändiger, dafür ist die Berücksichtigung von Nebenbedingungen bei der Optimierung einfacher.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- „A Topology Optimization Scheme for Crash Loaded Structures Using Topological Derivatives“, in: Schumacher, A., Vietor, T., Fiebig, S., Bletzinger, K.-U., Maute, K.: Advances in Structural and Multidisciplinary Optimization, Proceedings of the 12th World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization (WCSMO12), Springer Nature, 1601-1614, 2018
K. Weider and A. Schumacher
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-319-67988-4_120) - „Adjoint Method for Topological Derivatives for Optimization Tasks with Material and Geometrical Nonlinearities“, in: Rodrigues, H. et.al.: EngOpt 2018 Proceedings of the 6th International Conference on Engineering Optimization, 867-878, Springer Nature Switzerland, 2019
K. Weider and A. Schumacher
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/978-3-319-97773-7_75) - „Meta-modelling of the missing link between the analytical Topological Derivative equations and sensitivities for the optimization of crash loaded structures”, Contribution on the Mini-Symposium MS2 of the 90th GAMM Annual Meeting, February 18-22, 2019, Vienna, Austria
K. Weider and A. Schumacher
