Differentielle Harnackungleichungen vom Li-Yau-Typ und Anwendungen für nichtlokale Diffusionsgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Rico Zacher
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 355354916

Das Hauptziel des Projekts ist die Herleitung von differentiellen Harnack-Ungleichungen vom Li-Yau-Typ für eine große Klasse von nichtlokalen Diffusionsgleichungen. Diese enthält Probleme auf unendlichen diskreten Strukturen (Graphen), auf denen beliebig weite Sprünge möglich sind, Probleme im Euklidischen Raum mit einem fraktionalen Laplace-Operator sowie Probleme mit fraktionaler Dynamik. Eine Hauptschwierigkeit besteht darin, dass die klassische Kettenregel für die betrachteten nichtlokalen Operatoren nicht gültig ist. Als ein wesentlicher Teil des Projekts müssen neue Varianten der Krümmungs-Dimensions-Ungleichung (CD-Ungleichung) bewiesen werden. Unsere bisherigen Resultate zeigen, dass der klassische Gamma-Kalkül nicht geeignet ist, und legen nahe, CD-Ungleichungen mit einer sogenannten (nichtquadratischen) CD-Funktion zu betrachten. Letztere hängt vom nichtlokalen Operator bzw. der zugrunde liegenden Struktur ab. Mit Hilfe der neuen Ungleichungen vom Li-Yau-Typ wollen wir neue Harnack-Ungleichungen herleiten bzw. neue und viel einfachere (rein analytische) Beweise solcher Resultate finden (z.B. im raum-fraktionalen Fall). Ferner sollen Anwendungen der (neuen) CD-Ungleichungen im Falle einer positiven unteren Krümmungsschranke im Hinblick auf Funktionalungleichungen (Poincare-, Sobolev- und log-Sobolev-Ungleichungen) untersucht werden. Diese wiederum führen auf weitere Aussagen über das Langzeitverhalten der Lösungen der Diffusionsgleichungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen