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Differentielle Harnackungleichungen vom Li-Yau-Typ und Anwendungen für nichtlokale Diffusionsgleichungen

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2017 bis 2022
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 355354916
 
Erstellungsjahr 2023

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Hauptgegenstand des Projekts war die Herleitung von differentiellen Harnack-Ungleichungen vom Li-Yau-Typ fur eine große Klasse von nichtlokalen Diffusionsgleichungen einschließlich Problemen auf endlichen und unendlichen diskreten Strukturen (Graphen) und räumlich fraktionellen Diffusionsgleichungen im euklidischen Raum. Eine große Schwierigkeit bestand darin, dass für nichtlokale Operatoren die klassischen Kettenregeln nicht gelten, was insbesondere bedeutet, dass die Krümmungs-Dimensions-Ungleichung (CD-Ungleichung), die auf dem Γ- Kalkül von Bakry und Emery beruht, in diesem Zusammenhang nicht geeignet ist. Aus diesem Grund haben wir einen geeigneten Kalkül fur nichtlokale Operatoren (die aus Differenztermen zusammengesetzt sind) entwickelt und entsprechende neue CD-Bedingungen eingefuhrt. Eine der neuen Schlüsselideen war es, den quadratischen Dimensionsterm in der klassischen Bakry-Emery-Bedingung durch einen allgemeineren Term mit einer sogenannten CD-Funktion zu ersetzen. Dieses neue Konzept erwies sich als entscheidend fur diskrete Sprungoperatoren mit beliebig weiten Sprüngen, z.B. fur gebrochene Potenzen des diskreten Laplace-Operators, bei denen der Kern des Operators die CD-Funktion bestimmt. Im letztgenannten Beispiel hat die zugehörige CD-Funktion, im Gegensatz zur Quadratfunktion aus dem klassischen Fall, ein superquadratisches Verhalten bei Null und wächst im Unendlichen exponentiell. Ein weiteres wichtiges Merkmal in unseren neuen CD-Ungleichungen ist die herausragende Rolle der Funktion Υ(x) = exp(x) − 1 − x, die an vielen Stellen die quadratische Funktion x^2 /2 im nichtlokalen Fall ersetzt. Mit Hilfe der neuen CD-Bedingungen konnten wir differentielle Harnackungleichungen vom Li-Yau-Typ für eine Vielzahl von diskreten Problemen wie der Wärmeleitungsgleichung auf lokal endlichen Graphen und gebrochenen Potenzen des eindimensionalen diskreten Laplace- Operators beweisen. Ein weiteres wichtiges Ergebnis des Projekts im diskreten Setting ist die Identifizierung einer CD-Ungleichung, der Bedingung CDΥ (κ, ∞) mit dem Krümmungsparameter κ ∈ R, die als ein natürliches Analogon der klassischen Bakry-Emery-Bedingung CD(κ, ∞) in mehrfacher Hinsicht angesehen werden kann und zu unserem für die Li-Yau-Ungleichungen entwickelten Kalkül passt. Insbesondere implizieren positive Krümmungsschranken im Sinne von CDΥ die modifizierte logarithmische Sobolev-Ungleichung und bleiben unter Tensorisierung erhalten. Sie sind auch mit dem diffusiven Setting in dem Sinne kompatibel, dass entsprechende hybride Prozesse eine Tensorisierungseigenschaft besitzen. Überraschenderweise stellte sich heraus, dass der fraktionelle Laplace-Operator im euklidischen Raum nicht die Bakry-Emery-Bedingung (und auch nicht die CDΥ -Bedingung) mit endlicher Dimension erfüllt, was die Herleitung einer entsprechenden Li-Yau-Ungleichung erheblich erschwerte. Aus diesem Grund verwendeten wir einen völlig anderen Zugang, indem wir das Problem auf den Warmeleitungskern reduzierten. Wir haben in einem sehr allgemeinen Rahmen (der sowohl das kontinuierliche als auch das diskrete Setting abdeckt) ein Prinzip der Reduktion auf den Warmeleitungskern gefunden, das fur positive Lösungen einer breiten Klasse von nichtlokalen Diffusionsgleichungen gilt. Das Prinzip besagt, dass die Gültigkeit der Li-Yau-Ungleichung für den Wärmeleitungskern die Gültigkeit der Li-Yau-Ungleichung für jede positive Lösung impliziert. Unter Verwendung gewisser Schranken für den fraktionellen Wärmeleitungskern und seiner Ableitungen könnten wir auf diesem Wege eine Li-Yau-Ungleichung für den fraktionellen Laplace-Operator im kontinuierlichen Setting mit einem c/t-Verhalten der Relaxationsfunktion beweisen. Ein weiterer wichtiger Aspekt des Projekts bestand darin, mit Hilfe der erhaltenen Ungleichungen vom Li-Yau-Typ neue (parabolische) Harnack-Ungleichungen fur nichtnegative Lösungen der beschriebenen Diffusionsprobleme zu beweisen oder neue, viel einfachere (rein analytische) Beweise für die Harnack-Ungleichung in Fällen zu finden, in denen sie bereits bekannt ist. Für zeitfraktionelle Diffusionsgleichungen mit einer Zeitordnung kleiner als eins haben wir das überraschende Ergebnis gefunden, dass die klassische parabolische Harnack-Ungleichung in hoheren Dimensionen verletzt ist, während sie im eindimensionalen Fall gilt.

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