Sigmapunkt-Kalmanfilter mit Ungleichungsnebenbedingungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Technische Systeme können durch Differenzialgleichungen der Zustandsvariablen beschrieben werden. Die Schätzung dieser Variablen spielt in vielen Anwendungen eine wesentliche Rolle, denn eine bessere Schätzung ermöglicht nicht nur eine bessere Überwachung des Systems, sondern auch eine effizientere und stabilere Zustandsregelung. In vielen Fällen unterliegen die Zustände physikalischen oder durch Vorgaben festgelegten Beschränkungen. Um die Genauigkeit der Schätzung zu erhöhen, sollen die Beschränkungen in die Schätzung eingebunden werden. Das Kaiman-Filter (KF) findet als Zustandsschätzer seit seiner ersten Veröffentlichung breite Verwendung. Seit einigen Jahren existieren Modifikationen des KF, die sich gezielt mit der Anwendung auf nicht lineare Systeme beschäftigen. Diese Modifikationen werden unter dem Begriff Sigma-Punkt Kaiman-Filter (SPKF) zusammengefasst. Um die Beschränkungen in die Schätzung einbinden zu können, werden diese als Nebenbedingungen (NB) geschrieben. Eine Möglichkeit, die NB in der Schätzung zu berücksichtigen, basiert auf der Lösung eines Optimierungsproblems mit Hilfe des Quadratic-Programming(QP)-Verfahrens. Beinhalten die Beschränkungen Ungleichungs-NB (UNB), dann gibt es jedoch Fälle, wo das Verfahren ein fehlerhaftes Ergebnis liefert. Dies wird deutlich, wenn man das rechenintensivere Primal-Dual(PD)-Verfahren zur Lösung des Optimierungsproblems verwendet. Um die Vorteile des QP-Verfahrens zu nutzen und trotzdem zum richtigen Ergebnis zu gelangen, werden die NB nacheinander einzeln bearbeitet. Diese Vorgehensweise ist schneller als das PD-Verfahren, liefert aber dennoch die Optimallösung. Liegen nur einzelne Sigma-Punkte außerhalb des durch die NB definierten Bereichs vor und nicht der Erwartungswert, so können die NB durch die Verschiebung dieser SP berücksichtigt werden. Das Verfahren weist jedoch einige Nachteile auf, deswegen wurden in diesem Forschungsvorhaben andere Ansätze untersucht. Diese sind einfacher in der Berechnung und liefern darüber hinaus ein besseres Ergebnis. Seit Neuestem existieren Verfahren zur Lösung von konvexen nichtlinearen Optimierungsproblemen. Dies sind das Straf-/Barriere-Funktion(SBF)-Verfahren, das Primal-Dual (PD)-Verfahren und das wohl am meisten verbreitete Verfahren SQP (sequential quadratic programming). Diese Verfahren bieten sich an, wenn die NB nichtlinear sind. Die Lösung des Optimierungsproblems mit der quadratischen Zielfunktion und den nichtlinearen NB, kann mit einem im Vergleich zum SQP-Verfahren erhöhten Rechenaufwandmit dem SBF- oder PD-Verfahren bestimmt werden. Das SQP-Verfahren liefert in einigen Fallen jedoch keine zufrieden stellende Ergebnisse. Da die Genauigkeit des SQP-Verfahrens stark von den Linearisierungsfehlern der NB abhängt, wurde hier die Linearisierung statt mit der üblichen Taylor-Reihenentwicklung mit der Statistical Linear Regression (SLR) durchgeführt, darüber hinaus wurde ein anderer Linearisierungspunkt gewählt. Durch die Modifikationen erhält man ein gegen die Optimallösung relativ schnell konvergierendes und mit wenig Rechenaufwand zu implementierendes Verfahren. Die hier angewendeten Verfahren und erzielten Ergebnisse lassen sich problemlos auf andere Aufgabenstellungen mit nichtlinearen Nebenbedingungen übertragen. Als Beispiel ist die modellprädiktive Regelung, die auch als moving horizon control bezeichnet wird, zu nennen. Mit dem hier vorgestellten QP-Verfahren im linearen Fall lässt sich der Rechenaufwand deutlich verringern. Durch den Einsatz nichtlinearer Optimierungsverfahren kann die modellprädiktive Regelung auch auf nichtlineare Systeme mit nichtlinearen NB ausgeweitet werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Sigma-Punkt-Kaiman-Filter mit Zustandsnebenbedingungen. In: at-Automatisierungstechnik 4 (2009), S. 169-176
P. Schneider und H. Janocha
- Sigma-Punkt Kaiman-Filter mit Nebenbedingungen. Vortrag auf dem 42. Regelungstechnischen Kolloquium, Boppard, 2008
P. Schneider und H. Janocha
- Sigma-Point Kaiman Filter with State Constraints
P. Schneider und H. Janocha
- Sigma-Punkt Kaiman-Filter mit Ungleichungsnebenbedingungen. Dissertation, Universität des Saarlandes
P. Schneider
