Symplektische Geometrie und N-Körper Problem

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Lei Zhao
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 359698948

• Erstellungsjahr: 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In diesem Projekt haben wir vorgeschlagen, die Interaktionen zwischen symplektischer Geometrie und dem newtonschen N-Körper-Problem zu erforschen. Wir haben in verschiedenen Forschungsbereichen bedeutende Fortschritte erzielt. Wir haben Werkzeuge aus der symplektischen Topologie verwendet, um die Existenz einer globalen Schnittfläche im ebenen kreisförmigen eingeschränkten Dreikörperproblem zu verstehen und dieses klassische Ergebnis um den schweren Körper herum wiederherzustellen. Wir haben die Rabinowitz-Floer-Theorie verwendet, um die Existenz und Häufigkeit aufeinanderfolgender Kollisionsumlaufbahnen in eingeschränkten planaren Kreisdreikörperproblemen zu zeigen. Wir haben die Existenz unendlich vieler verallgemeinerter periodischer Umlaufbahnen in einem erzwungenen Kepler­Problem in einem euklidischen Raum beliebiger Dimension gezeigt und dabei viele wichtige Flle eingeschränkter Probleme der Himmelsmechanik abgedeckt. Dies ist eine erfolgreiche Kombination von Floer-theoretischen Techniken mit Überlegungen zur Lokalisierung und Regularisierung. Wir entwickeln die Theorie der J+ -artigen Invarianten für Stark-Zeeman-Systeme mit zwei Zentren. Wir haben ein einfaches Schießargument für die Existenz eingefrorener Planetenumlaufbahnen in einem Helium­Modell erhalten. Wir haben die Theorie projektiver und konformer entsprechender natrülicher mechanischer Systeme entwickelt. Diese Theorie wurde dann verwendet, um die Integrierbarkeit verschiedener Arten natürlicher mechanischer Billardspiele zu etablieren. Wir haben mehrere Algorithmen entwickelt, die stochastische Methoden und strenge numerische Berechnungen kombinieren, um die Liste der bekannten planaren Zentralkonfigurationen im Fall gleicher Masse für bis zu 14 Körper zu verbessern, und wir haben in vielen Fällen eine erste Liste planarer balancierten Konfigurationen für bis zu 5 Körper erstellt. Wir haben gezeigt, dass die Anzahl balancierten Konfigurationen von 4 Körpern in der Ebene bezüglich einer symmetrischen Matrix, die ausreichend nahe an Zentralkonfigurationen liegen, bis zu 3 Ähnlichkeiten endlich ist.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Existence of either a periodic collisional orbit or infinitely many consecutive collision orbits in the planar circular restricted three-body problem. Mathematische Zeitschrift, 291(1-2), 215-225.
  Frauenfelder, Urs & Zhao, Lei
  
• Lambert's theorem and projective dynamics. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 377(2158), 20180417.
  Albouy, Alain & Zhao, Lei
  
• Periodic solutions and regularization of a Kepler problem with time-dependent perturbation. Transactions of the American Mathematical Society, 372(1), 677-703.
  Boscaggin, Alberto; Ortega, Rafael & Zhao, Lei
  
• Transverse Regularizations of Central Force Problems by Hamiltonian Structure, Proceedings of ICCM 2018
  U. Frauenfelder & L. Zhao
  
• Lambert’s Theorem on the Sphere, Rendiconti del Seminario Mathematico (Turin)
  L. Zhao
  
• Partial coherent state transforms, G × T-invariant Kähler structures and geometric quantization of cotangent bundles of compact Lie groups. Advances in Mathematics, 368, 107139.
  Mourão, José M.; Nunes, João P. & Pereira, Miguel B.
  
• Generalized periodic orbits in some restricted three-body problems. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, 72(1).
  Ortega, Rafael & Zhao, Lei
  
• Generalized periodic orbits of the time-periodically forced Kepler problem accumulating at the center and of circular and elliptic restricted three-body problems. Mathematische Annalen, 385(1-2), 59-99.
  Zhao, Lei
  
• Projective dynamics and an integrable Boltzmann billiard model. Communications in Contemporary Mathematics, 24(10).
  Zhao, Lei
  
• A numerical analysis of planar central and balanced configurations in the (n+1)-body problem with a small mass
  A. Doicu; A. Doicu & L. Zhao
  
• A stochastic optimization algorithm for analyzing planar central and balanced configurations in the n-body problem. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 134(3).
  Doicu, Alexandru; Zhao, Lei & Doicu, Adrian
  
• Darboux Inversions of the Kepler Problem. Regular and Chaotic Dynamics, 27(3), 253-280.
  Albouy, Alain & Zhao, Lei
  
• J+-invariants for planar two-center Stark–Zeeman systems. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 43(7), 2258-2292.
  Cieliebak, Kai; Frauenfelder, Urs & Zhao, Lei
  
• On the problem of convexity for the restricted three-body problem around the heavy primary. Hokkaido Mathematical Journal, 51(2).
  FRAUENFELDER, Urs; KOERT, Otto van & ZHAO, Lei
  
• Boltzmann’s Billiard Systems: Computation of the Billiard Mapping and Some Numerical Results
  M. Plum; A. Takeuchi & L. Zhao
  
• Projective integrable mechanical billiards. Nonlinearity, 37(1), 015011.
  Takeuchi, Airi & Zhao, Lei
  
• Shooting for collinear periodic orbits in the Helium model. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik, 74(6).
  Zhao, Lei
  
• Conformal transformations and integrable mechanical billiards. Advances in Mathematics, 436, 109411.
  Takeuchi, Airi & Zhao, Lei
  
• Geometric properties of integrable Kepler and Hooke billiards with conic section boundaries. Journal of Geometry and Physics, 204, 105289.
  Jaud, Daniel & Zhao, Lei
  
• Integrable Mechanical Billiards in Higher-Dimensional Space Forms. Regular and Chaotic Dynamics, 29(3), 405-434.
  Takeuchi, Airi & Zhao, Lei
  
• On the finiteness issue of four-body balanced configurations in the plane
  Y. Wang & L. Zhao
  
• Finiteness of non-degenerate central configurations of the planar n-body problem with a homogeneous potential
  J. Natrup; Q. Wang & Y. Wang