Differentialformen auf singulären Räumen in beliebiger Charakteristik

• Antragsteller: Dr. Patrick Graf
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 364017874

Eine algebraische Varietät ist lokal als Nullstellenmenge von endlich vielen Polynomen mit Koeffizienten in einem Körper gegeben. Hierbei macht es einen wesentlichen Unterschied, ob der Körper Charakteristik Null hat (z.B. der Körper der komplexen Zahlen) oder ob die Charakteristik positiv ist (d.h. 1+1+...+1=0).Eine Varietät heißt glatt, falls sie lokal wie ein affiner Raum aussieht. In der Klassifikationstheorie algebraischer Varietäten sind jedoch auch singuläre Varietäten von Interesse. Wir untersuchen reflexive Differentialformen auf Varietäten mit milden Singularitäten, d.h. Differentialformen auf dem glatten Ort. Genauer gesagt beschäftigen wir uns mit der Frage nach deren Fortsetzbarkeit auf eine Auflösung der Singularitäten.In positiver Charakteristik sind vor allem F-reine und stark F-reguläre Singularitäten relevant. Im Allgemeinen liegt hier keine Fortsetzbarkeit vor, möglicherweise aber Fortsetzbarkeit mit logarithmischen Polen. Dies würde zu einem besseren Verständnis der Ungültigkeit der Lipman-Zariski-Vermutung in positiver Charakteristik beitragen: es gibt Varietäten, deren Tangentialgarbe lokal frei ist, die aber dennoch nicht glatt sind.In Charakteristik Null untersuchen wir die Fortsetzbarkeit von reflexiven Pluri-Differentialformen, d.h. Schnitten in Tensorpotenzen der Kotangentialgarbe. Hier sollte ebenfalls Fortsetzbarkeit mit höchstens logarithmischen Polen gelten. Dies würde ein geometrisches Kriterium liefern, wann eine rational zusammenhängende Varietät keine Pluri-Differentialformen besitzt.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Karl Schwede, Ph.D.