Differentialformen auf singulären Räumen in beliebiger Charakteristik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Während meines Aufenthalts an der University of Utah in Salt Lake City habe ich Differentialformen auf singulären Räumen untersucht - hauptsächlich in positiver Charakteristik, aber auch über den komplexen Zahlen. Log kanonische Singularitäten sind eine spezielle Klasse von Singularitäten, die seit Jahrzehnten großes Interesse bei algebraischen Geometern (und mitunter auch bei kommutativen Algebraikern) hervorrufen. Sie sind speziell genug, um starken theoretischen Bedingungen zu unterliegen, sodaß man sich interessante, nichttriviale Aussagen über diese erhoffen kann. Sie verfügen über eine faszinierende Geometrie mit zahlreichen Verbindungen zur kommutativen Algebra. Andererseits sind sie allgemein genug, um fast alle im Rahmen des Minimalen Modell-Programms auftretenden Fragestellungen abzudecken. Während der Dauer des Projektes wurden auf diesem Teilgebiet der Theorie empirische Fortschritte erzielt. Zum einen ergab die Untersuchung log kanonischer Flächensingularitäten Resultate über die Fortsetzbarkeit von reflexiven Differentialformen auf solchen Räumen. Zum anderen gelang es zu zeigen, daß die erzielten Resultate in fast jedem erdenklichen Sinne scharf sind. Insbesondere stellte sich heraus, daß obige Fortsetzbarkeitsaussage in höheren Dimensionen übelst failt. Diese überraschende Einsicht zeigt, daß zukünftige Forschungsvorhaben auf dem Gebiet sich notwendigerweise auf F-reine Singularitäten konzentrieren müssen. Aber schon die Resultate für Flächen haben substantielle Fortschritte im Studium der Lipman-Zariski-Vermutung in positiver Charakteristik ermöglicht. Ein weiterer Fortschritt wurde für das Charakteristik Null-Analogon obiger Fragestellungen erzielt. Zum einen ergab sich ein neuer Beweis der bekannten Fortsetzungssätze über den komplexen Zahlen. Zum anderen gelang ein nicht vorhergesehener Fortschritt bezüglich der Lipman-Zariski-Vermutung für komplexe Flächensingularitäten von niedrigem Geschlecht in Zusammenarbeit mit H. Bergner (Freiburg). Die hier erworbenen Einsichten geben weitere Evidenz dafür, daß die Lipman-Zariski-Vermutung wahrscheinlich stimmt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- A note on Flenner’s extension theorem
P. Graf
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00229-020-01233-y) - Differential forms on log canonical spaces in positive characteristic
P. Graf
- The Lipman–Zariski conjecture in genus one higher
H. Bergner, P. Graf
(Siehe online unter https://doi.org/10.1017/fms.2020.19)
