Gefärbte Operaden für die Quantenfeldtheorie

• Antragsteller: Dr. Marco Benini
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 367130593

Wir entwickeln einen neuen Ansatz zur lokalkovarianten Quantenfeldtheorie (LCQFT), der auf gefärbten Operaden und homotopischer Algebra beruht. Diese Perspektive ermöglicht neuartige Konstruktionen von Quantenfeldtheorien (QFTn) auf Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Sie führt auf eine natürliche homotopische Verallgemeinerung der LCQFT, die auch Quanten-Eichtheorien beschreibt.LCQFTn sind funktorielle Zuweisungen von Algebren zu Raumzeiten, die einen Satz von physikalisch motivierten Axiomen erfüllen. Es erweist sich als schwierig, Beispiele von LCQFTn zu konstruieren, da man nicht nur einen geeigneten Funktor finden muss, sondern ebenfalls im Anschluss die Axiome einer LCQFT nachzuweisen hat. Der letzte Schritt ist im Allgemeinen sehr kompliziert; deshalb gibt es zur Zeit auch nur wenige erfolgreiche Konstruktionen von LCQFTn.Das Hauptziel dieses Forschungsvorhabens ist es, diese Probleme durch einen operadischen Ansatz zu umgehen. Unsere Grundidee ist es, die Funktorialität und die Axiome der LCQFT in einer einzigen Struktur, einer sogenannten gefärbten Operade, zu kodieren. Algebren über dieser Operade sind somit in Bijektion zu LCQFTn. Diese Sichtweise erlaubt es uns, neuartige Techniken zur Konstruktion von LCQFTn zu entwickeln; sie beruhen auf kategorientheoretischen Eigenschaften von Operaden und deren Algebren und haben somit keine traditionelle Interpretation. Insbesondere sind die Axiome einer LCQFT in unserer Operade kodiert, so dass alle operadischen Konstruktionen automatisch diese Axiome erfüllen. Sie müssen nicht mehr im Anschluss an eine Konstruktion verifiziert werden.Unser Forschungsvorhaben führt zu einer nichttrivialen Erweiterung des Faktorisierungsalgebra-Ansatzes von Costello und Gwilliam, der zur Axiomatisierung von Riemannschen QFTn entwickelt wurde. Im Gegensatz dazu betrachten wir den physikalisch relevanten Fall von Lorentzschen QFTn, der sich in spezifischen Eigenschaften unserer gefärbten Operaden widerspiegelt, die von der kausalen Struktur auf Raumzeiten abhängen. Insbesondere parametrisieren kausale Relationen zwischen Raumzeitgebieten die Nichtkommutativität der Operationen unserer Operade, die somit als eine Interpolation zwischen der assoziativen und der kommutativen Operade interpretiert werden kann.Unser Ansatz erlaubt es uns ebenfalls eine homotopische Verallgemeinerung der LCQFT zu entwickeln, die wesentlich für die Beschreibung von Quanten-Eichtheorien ist. Ähnlich zu den A-infinity Algebren, welche Algebren über der Kofaser-Auflösung der assoziativen Operade sind, können wir mittels einer Kofaser-Auflösung unserer gefärbten Operade einen natürlichen Kandidaten für die LCQFT Axiome "bis auf Homotopie" erhalten. Unser letztes Ziel ist es nachzuweisen, dass diese homotopische Verallgemeinerung geeignet ist, um Beispiele von Quanten-Eichtheorien zu beschreiben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen