Numerische Simulation von Kontaktproblemen mit Fluid-Struktur-Interaktion

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Stefan Frei
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 367992309

• Erstellungsjahr: 2020

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In diesem Projekt wurden mathematisch fundierte, robuste und akkurate numerische Methoden für Kontaktprobleme mit Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) entwickelt. Die Kombination von Kontakt und FSI ist bei jedem mechanischen Kontaktproblem wesentlich, wenn sich vor, nach oder während des Kontakts eine Flüssigkeit oder ein Gas zwischen oder in der Umgebung der Kontaktflächen befindet und einen Einfluss auf die Strukturen hat. Wichtige Anwendungsbeispiele sind etwa der Kontakt von Herzklappen in Arterien und von mechanischen Ventilen in Rohren, die Schmierfilmdynamik in Kugellagern oder Partikelkollisionen. Dabei stellte sich heraus, dass eine direkte Kombination der FSI-Bedingungen und der Standardkontaktbedingungen weder physikalisch konsistent noch numerisch stabil ist. Ein physikalisch konsistentes Modell erhält man dagegen, wenn Strömungskräfte auf die Kontaktfläche geeignet fortgesetzt werden. Physikalisch kann dies entweder mit einem Umgebungsdruck motiviert werden oder unter Berücksichtigung von Effekten auf einer Mikroskala wie Oberflächenrauheiten. Es wurden drei verschiedene Ansätze entwickelt, um eine Fortsetzung der Strömungskräfte zu ermöglichen: Zum einen ein relaxiertes Kontaktmodell, bei dem die Kontaktbedingungen bereits aktiv werden, wenn der Abstand zwischen den Strukturen ein gewähltes ε > 0 unterschreitet. Zum zweiten eine Fortsetzung der Strömungskräfte auf ein künstliches Strömungsgebiet jenseits der Kontaktfläche und schließlich eine effektive Gleichung auf der Kontaktfläche selbst unter Berücksichtigung von Effekten auf einer Mikroskala. In allen drei Fällen können die Kopplungs- und Kontaktbedingungen mithilfe von sogenannten Nitsche-Techniken simultan und mathematisch elegant in die variationelle Formulierung eingebunden werden. Die resultierende variationelle Formulierung beinhaltet die Kopplungs- und Kontaktbedingungen voll implizit und erlaubt eine detaillierte numerische Stabilitätsanalyse. Um den Topologiewechsel im Strömungsgebiet zum Kontaktzeitpunkt beschreiben zu können, wurde ein Eulerscher Zugang (Fully Eulerian) für FSI gewählt. Mit diesem sind Topologieänderungen problemlos möglich. Aufgrund des variablen Simulationsgebietes Ω(t) entstehen allerdings zusätzliche Herausforderungen an die Diskretisierung in Ort und Zeit. Für die Ortsdiskretisierung wurden sowohl geometrisch angepasste (fitted) als auch strukturierte (unfitted) Finite-Elemente-Techniken angewendet und analysiert. Auch für die Zeitdiskretisierung in Eulerschen Koordinaten wurden neuartige Verfahren hergeleitet und im Bereich von Strömungsproblemen erstmals detailliert analysiert. Schließlich wurden verschiedene Anwendungen im Bereich FSI mit großen Deformationen bis hin zu Kontakt untersucht, wie die Plaquebildung in Arterien und Pathologien in der menschlichen Lunge. Bei beiden Anwendungen sind neben FSI verschiedene Zeitskalen zu berücksichtigen. Bei der Plaquebildung ist für die pulsierende Blutströmung etwa eine Skala von Sekunden aufzulösen, das Plaquewachstum selbst benötigt aber typischerweise Monate-Jahre. Im Rahmen dieses Projektes wurden effiziente Mehrskalenalgorithmen in der Zeit für Strömungsprobleme entwickelt und erstmals detailliert untersucht, unter Berücksichtigung von Diskretisierungs- und Modellierungsfehlern.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Finite element simulation of fluid dynamics and CO2 gas exchange in the alveolar sacs of the human lung, Computational and Applied Mathematics 37 (5), 6410-6432 (2018)
  Luis J Caucha, Stefan Frei, Obidio Rubio
  
• 3D-2D Stokes- Darcy coupling for the modelling of seepage with an application to fluid-structure interaction with contact, eingereicht bei: Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH) 2019 (Proceedings)
  Erik Burman, Miguel A Fernández, Stefan Frei, Fannie M Gerosa
  
• A Nitsche-based formulation for fluid-structure interactions with contact, ESAIM M2AN (2019)
  Erik Burman, Miguel A Fernández, Stefan Frei
  
• An edge-based pressure stabilisation technique for finite elements on arbitrarily anisotropic meshes, International Journal for Numerical Methods in Fluids 89 (10), 407-429 (2019)
  Stefan Frei