Dynamical spatially heterogeneous model adaptation in compressible flows

• Applicant: Professor Dr. Jan Giesselmann
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2017 to 2021
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 368503550

• Final Report Year: 2021

Final Report Abstract

In diesem Projekt wurden neuartige Modell-adaptive Numerische Verfahren zur Approximation hyperbolischer Relaxationsgleichungen, insbesondere von Modellen für kompressible Fluidmischungen, betrachtet. Für diese Probleme gibt es Modellhierarchien aus sehr präzisen aber nur schwer numerisch zu approximierenden und weniger genauen aber leichter zu approximierenden Modellen. Modelladaptive Verfahren sollen nun automatisch entscheiden, wo im Rechengebiet welches Modell gelöst wird, um so verlässlichere und effizientere Simulationen zu ermöglichen. Dazu werden Fehlerschätzer für die Differenz zwischen den Lösungen der einfachen und der komplexen Modelle benötigt. Es ist uns gelungen, diese in einem abstrakten Rahmen zu beweisen, wobei gewisse Annahmen an die Struktur der Modelle notwendig sind, die für thermodynamisch konsistente Modelle kompressibler Fluidmischungen automatisch erfüllt sind. Der hergeleitete Fehlerschätzer kontrolliert nicht nur Modell- sondern auch Diskretisierungsfehler und bildet somit eine Basis für simultane Modell- und Gitteradaption. Bei der Erprobung der Modell-adaptiven Verfahren zeigte sich jedoch, dass die ”einfachen“ Modelle in diesem Kontext weniger effizient gelöst werden können als wir dies erwartet hatten, da sie konstitutive Gleichungen enthalten, die nur durch das Lösen nichtlinearer Gleichungen ausgewertet werden können. Insofern planen wir, zu untersuchen, inwiefern eine hinreichend genaue Approximation der Flussfunktion ”gelernt“ werden kann und wie sich dabei auftretende Approximationsfehler auf den Gesamtfehler der Simulation auswirken. Dabei wollen wir insbesondere untersuchen, inwiefern es möglich und zweckmäßig ist, die Flussfunktion so zu lernen, dass das resultierende Modell thermodynamisch konsistent ist. Die bei der Herleitung der Modellfehlerabschätzung entwickelten Techniken, lassen sich auf ein Vielzahl anderer Probleme anwenden, die strukturelle Gemeinsamkeiten mit den betrachteten Modellen für Fluidmischungen haben. So wurden im Rahmen der Projektarbeit auch a posteriori Fehlerschätzer für nicht-intrusive Approximationsverfahren für hyperbolische Bilanzgleichungen mit zufälligen Anfangsdaten und Flussfunktionen und für sogenannte wave-maps entwickelt und numerisch untersucht.

Publications

• Error control for statistical solutions
  F. Meyer, J. Giesselmann, C. Rohde
  
• A posteriori error analysis and adaptive non-intrusive numerical schemes for systems of random conservation laws. BIT Numerical Mathematics, Vol. 60(3), 619–649, 2020
  F. Meyer, J. Giesselmann, C. Rohde
  
• A posteriori error estimates for wave maps into spheres
  J. Giesselmann, E. Mäder-Baumdicker
  
• Model Adaptation of Balance Laws Based on A Posteriori Error Estimates and Surrogate Fluxes. In: R. Klöfkorn, E. Keilegavlen, F. A. Radu, J. Fuhrmann (eds.) Finite Volumes for Complex Applications IX - Methods, Theoretical Aspects, Examples, pp. 375–383, Springer, 2020
  J. Giesselmann, H. Joshi
  
• Model Adaptation of chemically reacting flows based on a posteriori error estimates. In: A. Bressan, M. Lewicka, D. Wang, Y. Zheng (eds.) Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications, pp.442 – 448, AIMS, 2020
  J. Giesselmann, H. Joshi