Analysis von Partiellen Differentialgleichungen mit Kreuzdiffusion und stochastischen Termen

• Antragsteller: Professor Christian Kühn, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 370099393

Partielle Differentialgleichungen (PDG) zweiter Ordnung mit Kreuzdiffusionstermen werden häufig in der mathematischen Biologie verwendet und stellen eine Herausforderung für die mathematische Analysis dar. Ein effizientes technisches Werkzeug, um die Existenz von globalen Lösungen zu beweisen sind Entropiemethoden. In diesem Zusammenhang bietet ein geeignetes Funktional globale a-priori-Schranken, so dass die Existenz über ein Pixpunkt-Argument erzielt werden kann. Darüber hinaus kann das Funktional verwendet werden, um die globale Konvergenz zu einem Gleichgewicht in bestimmten Parameterbereichen zu beweisen. Aus der Sicht der mathematischen Biologie sind deterministische Kreuzdiffusions PDG ein Makro-Modell und es ist höchst wünschenswert, stochastische Effekte aufgrund von endlichen Populationen oder zufälligem externen Ereignissen auch zu modellieren. Dies führt zu stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDG). Für SPDG mit Kreuzdiffusion existiert bisher keine mathematische Analysis und ein wesentliches Ziel dieses Projekts ist es, diese eklatante Lücke zu schließen. Aus technischer Sicht sind SPDG anspruchsvoll, da man in vielen Fällen mit nur sehr geringen Regularitäten der Lösungs-Funktion bzw Lösungs-Distributionen rechnen muss. Wir schlagen in diesem Projekt einen Ansatz vor, der verschiedene Blickwinkel nutzt. Für eine lokale Existenz-Theorie in der Zeitvariablen wollen wir drei verschiedene Lösungskonzepte für Kreuzdiffusions-SPDG untersuchen: milde Lösungen, schwache Lösungen (im probabilistischen Sinne) und renormalisierte Regularitätsstruktur-Lösungen. Eine zentrale Frage wird sein, die Regularitätsgrenzen des Rauschens zu identifizieren, wo die drei Ansätze für Kreuzdiffusions-SPDG noch funktionieren. Darüber hinaus wollen wir zu Approximationsmethoden für Lösungen durch Regularisierung (des Rauschens, der Diffusion und über endlich-dimensionale Approximationen) beitragen. Für globale Existenz in der Zeit schlagen wir vor, Entropiemethoden von PDG auf die Analysis von SPDG zu übertragen. Ein Hauptthema ist dabei die Verwendung von Entropievariablen in Kombination mit globalen a-priori-Schranken. Zusammenfassend wollen wir die Theorien aus verschiedenen mathematischen Bereichen im Rahmen von Kreuzdiffusions-PDG zusammenführen und wesentlich erweitern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich
• Partnerorganisation: Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF)
• Mitverantwortlich: Dr. Nicola Zamponi
• Kooperationspartner: Professor Dr. Ansgar Jüngel