GRK 1052:  Darstellungstheorie und ihre Anwendungen in Mathematik und Physik

• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2009
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 375986

Die Darstellungstheorie beschäftigt sich mit der Frage, auf welche Weise Symmetrien (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen und die abstrakten Verallgemeinerungen dieser Konzepte) mathematisch realisiert werden und somit in der Natur auftreten können. Diese Frage lässt sich mathematisch präzise stellen und hat erstaunliche Konsequenzen. Sie schränkt beispielsweise die Möglichkeiten, fundamentale physikalische Theorien sinnvoll zu definieren, drastisch ein und ist daher eines der wichtigsten Werkzeuge der modernen Theoretischen Physik. Darstellungstheorie spielt nicht nur bei der Formulierung von Theorien, sondern auch bei der konkreten Berechnung experimentell zugänglicher Größen eine wichtige Rolle. Mit der Entwicklung über unser intuitives und elementares Verständnis geometrischer Symmetrien hinaus hat sich die Darstellungstheorie in immer mehr Bereichen der Theoretischen Physik und der Mathematik als nützlich und fruchtbar erwiesen.Unter anderem liefert die Darstellungstheorie ein Klassifikationsmittel sowohl für die komplexen Spektren von Atomen und Molekülen als auch von Systemen der Festkörper- und Elementarteilchen-Physik. Eine wichtige moderne Anwendung von Symmetrien ist die Untersuchung der Eigenschaften von wechselwirkenden Vielteilchensystemen, insbesondere ihrer Korrelationsfunktionen. Jede Symmetrie liefert hier eine Einschränkung der zeitlichen Evolution, wobei genügend reichhaltige Symmetrien das Verhalten nahezu determinieren. Die Möglichkeit einer derartigen Behandlung von quantenmechanischen Vielteilchensystemen ist besonders interessant, da eine direkte numerische Bearbeitung wegen der (nichtpolynomialen) Komplexität scheitert. Ähnliche Effekte tauchen auch bei Anwendungen in der Mathematik auf, etwa beim Zusammenspiel von Geometrie und Darstellungstheorie. Einerseits konstruiert man oft Darstellungen mit Hilfe von Symmetrien geometrischer Objekte, die bekannte Geometrie führt dann zu Erkenntnissen über die Darstellung. Umgekehrt lässt eine gute Kenntnis der Symmetrien, oder genauer der Darstellung, durch deren einschränkenden Charakter Rückschlüsse über geometrische Eigenschaften zu.In diesem Sinne kann man das wissenschaftliche Ziel des Graduiertenkollegs zusammenfassen als die Entwicklung und Anwendung von darstellungstheoretischen Methoden in der Mathematik und der Theoretischen Physik.

• DFG-Verfahren: Graduiertenkollegs
• Antragstellende Institution: Bergische Universität Wuppertal
• beteiligte Wissenschaftler: Professor Dr. Klaus Bongartz; Professor Dr. Walter Borho; Professor Dr. Klaus Fabricius; Professor Dr. David J. Green; Professor Dr. Frank Göhmann; Professor Dr. Roland Huber; Professor Dr. Michael Karbach; Professor Dr. Andreas Kluemper
• Sprecher: Professor Dr. Markus Reineke, seit 12/2006