MORSE - Theoretische Methoden in Hamiltonscher Dynamik

• Antragsteller: Professor Dr. Alberto Abbondandolo; Professor Dr. Luca Asselle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 380257369

Seit Morses Arbeiten über Riemannsche Geodäten stellen Morse-theoretische Methoden ein wichtige Werkzeuge in der nicht-pertubativen Untersuchung Hamiltonscher Systeme dar. Diese Methoden basieren auf vielen Prinzipien der Variationsrechnung, welche die Hamiltonsche Dynamik bestimmen, allen voran die Lagrangesche und Hamiltonsche Wirkung. Während das erste Funktional hinreichend mit Hilfe von unendlichdimensionaler Morse-Theorie untersucht werden kann, erfordert das Letztere fortgeschrittenere Methoden wie Floer-Theorie.Wie viele gute mathematische Theorien, arbeitet auch Floer-Theorie am Besten, wenn sie mit anderen Theorien in Verbindung gebracht wird. Die Suche nach solchen Wechselbeziehungen ist weit entfernt davon abgeschlossen zu sein und ein tieferes Verständnis dieser Beziehungen verspricht die Arbeit an der Lösung mancher offener Probleme der Hamiltonschen Dynamik voranzutreiben. Floer-Homologie ist sehr effektiv bei der Untersuchung periodischer Bahnen, liefert für homokline Bahnen jedoch bisher nur begrenzte Erfolge, während dort klassische Variationsmethoden immer noch besser funktionieren. Da homokline und heterokline Bahnen wichtige Objekte zum Verständnis des globalen Verhaltens Hamiltonscher Systeme sind, ist es wünschenswert mehr Methoden zu ihrer Untersuchung zur Verfügung zu haben.Unser Antrag beabsichtigt diese beiden Aspekte zu berücksichtigen und lässt sich mit den folgenden beiden wissenschaftlichen Zielen zusammenfassen:1. Die Entwicklung einer alternativen und ergänzenden Herangehensweise an die Hamiltonsche Floer-Thoerie, sowohl für abstrakte Funktionale als auch für das Hamiltonsche Wirkungsfunktional auf Schleifenräumen bestimmter symplektischer Mannigfaltigkeiten.2. Die Verbesserung bestehender Variationsmethoden und die Entwicklung neuer Werkzeuge zur Untersuchung homokliner und heterokliner Bahnen in der Hamiltonschen Dynamik über die Klasse natürlicher Hamiltonscher Systeme hinaus.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Polen
• Partnerorganisation: Narodowe Centrum Nauki (NCN)
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Marek Izydorek, Ph.D.; Dr. Joanna Janczewska