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Hochdimensionale effiziente Approximationsalgorithmen basierend auf Abtastmengen mit Rang-1 Strukturen und Anwendungen

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2017 bis 2024
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 380648269
 
Erstellungsjahr 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Rahmen des Projektes gelang es, ein hocheffizientes Verfahren zur approximativen Bestimmung von Lösungen partieller Differentialgleichungen mit zufälligen Koeffizienten zu erstellen. Größere Anzahlen zufälliger Parameter stellen dabei besondere Herausforderungen dar, so dass nur hocheffiziente Verfahren zum Einsatz kommen können. Die numerisch ermittelten Lösungen dienen dann der vertiefenden Charakterisierung von Parameterabhängigkeiten, welche im Anwendungsfall oft bereits durch theoretische Überlegungen grundlegend charakterisiert sind. Im konkreten Approximationsproblem treten vor allem auch durch die in hochdimensionalen Problemstellungen hohe Anzahl verschiedenartiger Kopplungen der Parameter jedoch Feinheiten auf, die mittels theoretischer Ergebnisse meist nur unzureichend beschrieben werden und damit zu mangelhaften Ergebnissen nichtadaptiver Verfahren führen können. Der von uns entwickelte Algorithmus ist in der Lage genau diese Feinheiten in den ermittelten Approximationen abzubilden und bereits während des Approximationsprozesses z.B. in Form reduzierter Abtastungen davon zu profitieren. Um die Effizienz der eingesetzten dimensionsinkrementellen Methode deutlich zu steigern, wurden effizientere Abtaststrategien zur Rekonstruktion von und Approximation mit trigonometrischen Polynomen entwickelt. Besonderer Augenmerk lag hierbei auf dem allgegenwärtigen Ziel der Effizienz bzgl. Konstruktion der Abtastschemata, Anzahl benötigter Abtastknoten und Rekonstruktionaufwand. Als Folge lassen sich sehr komplexe Probleme, insb. partielle Differentialgleichungen mit zufälligen Koeffizienten, deutlich ausführlicher numerisch analysieren als das bislang möglich war. Verschiedene Implementierungen der entwickelten Algorithmen wurden in unterschiedlichen Software-Paketen frei zugänglich veröffentlicht. Ein umfassenderes Software-Paket zur dimensionsinkrementellen Methode ist aktuell in Arbeit. Dies schließt eine universelle Schnittstelle zur Einbindung weiterer Rekonstruktionsverfahren, wie z.B. den im Projekt entwickelten Verfahren zur Rekonstruktion mittels multivariater Chebyshev-Polynome, ein. Diese Verfahren sind tatsächlich eine Weiterentwicklung der für multivariate trigonometrische Polynome entwickelten Verfahren. Dabei nutzen wir Chebyshev-Polynome als Basisfunktionen für nichtperiodische Problemstellungen. Entsprechende Algorithmen zur Bestimmung geeigneter Abtastschemata und zu deren Anwendung in dimensionsinkrementellen Approximationsalgorithmen stehen mit Abschluss des Projektes zur Verfügung. Diese wurden auch bereits ausgiebig erfolgreich getestet. Die bloße Anwendung der Algorithmen auf einige Differentialgleichungen mit zufälligen Koeffizienten stellt natürlich nur das Ende des vorliegenden Projektes dar. Selbstverständlich werfen die entwickelten, innovativen Algorithmen neue Fragestellungen auf. Auf der einen Seite geben numerische Tests Anlass, die dimensionsinkrementelle Strategie selbst weiter zu entwicklen, wie z.B. weitere Verbesserungen des verwendeten Thresholdings vorzunehmen. Auf der anderen Seite ist die Anwendbarkeit auf komplexere Differentialgleichungen mit zufülligen Koeffizienten nun ein zentrales Thema. So stellt sich die Frage nach den umfassenden Möglichkeiten aber auch nach den Limitierungen der existierenden Algorithmen. Darüber hinaus benötigt eine adäquate Interpretation vorliegender Approximanten weiterer Behandlung. Wir nutzten bereits den Ansatz der Varianzanalyse (ANOVA), um Abhängigkeiten von verschiedenen Variablenkombinationen zu quantifizieren. Mit einem solchen Ansatz wurde in einer von mir betreuten Dissertation für Approximationen aus gestreuten Daten (scattered data approximation) gearbeitet und auch sehr erfolgreich auf verschiedene Problemstellungen aus der Praxis angewandt. Die Überschneidungen zur Approximation unter Nutzung des dimensionsinkrementellen Algorithmus sind offensichtlich, die strukturierte Anwendung der ANOVA zur Approximationsverbesserung muss Thema zukünftiger Forschung sein. Zu den Forschungsergebnissen sind mehrere Publikationen in internationalen Zeitschriften erschienen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

 
 

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