Regularitätseigenschaften unendlich-dimensionaler Liegruppen und Exponentialgesetze

• Antragsteller: Professor Dr. Helge Glöckner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 384439538

• Erstellungsjahr: 2020

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Regularität ist ein auf John Milnor zuückgehender zentraler Begriff der unendlich-dimensionalen Lietheorie. Ist G eine auf einem lokal konvexen Raum E modellierte Liegruppe, verlangt Regularität zu jedem glatt zeitabhängigen linksinvarianten Vektorfeld auf G die Existenz einer im Neutralelement startenden Integralkurve, mit glatter Abhängigkeit vom Vektorfeld. Betrachtet man Lp-Zeitabhängigkeit statt glatter, spricht man von Lp-Regularität. Diese Theorie war bisher nur für spezielle Modellräume (insb. für Fréchet-Räume) verfügbar, konnte von der projektfinanzierten Mitarbeiterin N. Nikitin nun aber auf beliebige folgenvollständige Modellräumeübertragen werden, unter Benutzung eines weiter gefassten Begriffs von Lusin-Messbarkeit von Funktionen. Vom Antragsteller konnte gezeigt werden, dass die Liegruppe Diff ω (M ) der reell-analytischen Diffeomorphismen einer reellanalytischen, kompakten Mannigfaltigkeit L∞-regulär ist. Zudem konnte der Nutzen von L∞ -Regularität für geometrische Systemtheorie gezeigt werden: Wirkt eine L∞-reguläre Liegruppe glatt von rechts auf einer glatten Mannigfaltigkeit (die beide auf folgenvollständigen lokal konvexen Räumen modelliert sind), so erfüllen Anfangswerteprobleme zu zeitabhängigen fundamentalen Vektorfeldern auf M stets lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, bei L∞-Zeitabhängigkeit. Weitere Resultate betreffen Kontrollfunktionen mit Werten in einer kompakten konvexen Teilmenge K der Liealgebra von G. Der Abschluss der Menge der von einem gegebenen y0 ∈ M aus erreichbaren Punkte ist immer gleich, egal ob als Kontrollfunktionen L∞-Funktionen oder stetige Funktionen mit Werten in K genommen werden, oder Treppenfunktionen mit Werten in der Menge der Extremalpunkte von K (ein Bang-Bang-Prinzip). Zudem konnten Ergebnisse Hanuschs uber Ck-Regularität in die Theorie der Lp -Regularität übertragen werden: Sei der Modellraum E von G folgenvollständig. Besitzt jedes durch p eine L-Funktion γ : [0, 1] → g in die Liealgebra g von G parametrisiertes zeitabhängiges linksinvariantes Vektorfeld auf G eine Evolution Evol(γ) und ist Evol stetig an der Stelle γ = 0, so ist Evol : Lp ([0, 1], g) → C([0, 1], G) glatt (und dies auch bzgl. der gröberen, von L1 auf Lp induzierten Vektortopologie). Neue Anwendungen von Exponentialgesetzen, wie C ∞ (M ×N, E) ≅ C ∞ (M, C ∞ (N, E)), wurden gegeben bei der Untersuchung von Abbildungsmannigfaltigkeiten Cl (M, N), Liegruppoiden von Abbildungen, sowie beim Studium von Fortsetzungsoperatoren und Glättungsoperatoren für vektorwertige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten und Schnitte in Vektorbündeln.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Differentiability along one-parameter subgroups compared to differentiability on Lie groups as manifolds, Seiten 363–373 in: A. Fialowski et al. (Herausg.), 50th Seminar “Sophus Lie”, Banach Cent. Publ. 113 (2017), 363–373
  Nikitin, N.
  
• Direct limits of regular Lie groups
  Glöckner, H.
  
• Measurable regularity of infinite-dimensional Lie groups based on Lusin measurability, Preprint, 43 Seiten
  Nikitin, N.
  
• Aspects of control theory on infinitedimensional Lie groups and G-manifolds, 58 Seiten
  Glöckner, H. und J. Hilgert
  
• Lie groups of real analytic diffeomorphisms are L∞-regular, Preprint, 33 Seiten
  Glöckner, H.
  
• Products of regular locally compact spaces are kR-spaces, Topol. Proc. 55 (2020), 35–38
  Glöckner, H. und N. Masbough