Regularity properties of infinite-dimensional Lie groups, and exponential laws
Final Report Abstract
Regularität ist ein auf John Milnor zuückgehender zentraler Begriff der unendlich-dimensionalen Lietheorie. Ist G eine auf einem lokal konvexen Raum E modellierte Liegruppe, verlangt Regularität zu jedem glatt zeitabhängigen linksinvarianten Vektorfeld auf G die Existenz einer im Neutralelement startenden Integralkurve, mit glatter Abhängigkeit vom Vektorfeld. Betrachtet man Lp-Zeitabhängigkeit statt glatter, spricht man von Lp-Regularität. Diese Theorie war bisher nur für spezielle Modellräume (insb. für Fréchet-Räume) verfügbar, konnte von der projektfinanzierten Mitarbeiterin N. Nikitin nun aber auf beliebige folgenvollständige Modellräumeübertragen werden, unter Benutzung eines weiter gefassten Begriffs von Lusin-Messbarkeit von Funktionen. Vom Antragsteller konnte gezeigt werden, dass die Liegruppe Diff ω (M ) der reell-analytischen Diffeomorphismen einer reellanalytischen, kompakten Mannigfaltigkeit L∞-regulär ist. Zudem konnte der Nutzen von L∞ -Regularität für geometrische Systemtheorie gezeigt werden: Wirkt eine L∞-reguläre Liegruppe glatt von rechts auf einer glatten Mannigfaltigkeit (die beide auf folgenvollständigen lokal konvexen Räumen modelliert sind), so erfüllen Anfangswerteprobleme zu zeitabhängigen fundamentalen Vektorfeldern auf M stets lokale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, bei L∞-Zeitabhängigkeit. Weitere Resultate betreffen Kontrollfunktionen mit Werten in einer kompakten konvexen Teilmenge K der Liealgebra von G. Der Abschluss der Menge der von einem gegebenen y0 ∈ M aus erreichbaren Punkte ist immer gleich, egal ob als Kontrollfunktionen L∞-Funktionen oder stetige Funktionen mit Werten in K genommen werden, oder Treppenfunktionen mit Werten in der Menge der Extremalpunkte von K (ein Bang-Bang-Prinzip). Zudem konnten Ergebnisse Hanuschs uber Ck-Regularität in die Theorie der Lp -Regularität übertragen werden: Sei der Modellraum E von G folgenvollständig. Besitzt jedes durch p eine L-Funktion γ : [0, 1] → g in die Liealgebra g von G parametrisiertes zeitabhängiges linksinvariantes Vektorfeld auf G eine Evolution Evol(γ) und ist Evol stetig an der Stelle γ = 0, so ist Evol : Lp ([0, 1], g) → C([0, 1], G) glatt (und dies auch bzgl. der gröberen, von L1 auf Lp induzierten Vektortopologie). Neue Anwendungen von Exponentialgesetzen, wie C ∞ (M ×N, E) ≅ C ∞ (M, C ∞ (N, E)), wurden gegeben bei der Untersuchung von Abbildungsmannigfaltigkeiten Cl (M, N), Liegruppoiden von Abbildungen, sowie beim Studium von Fortsetzungsoperatoren und Glättungsoperatoren für vektorwertige Funktionen auf Mannigfaltigkeiten und Schnitte in Vektorbündeln.
Publications
- Differentiability along one-parameter subgroups compared to differentiability on Lie groups as manifolds, Seiten 363–373 in: A. Fialowski et al. (Herausg.), 50th Seminar “Sophus Lie”, Banach Cent. Publ. 113 (2017), 363–373
Nikitin, N.
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(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1902.06329) - Measurable regularity of infinite-dimensional Lie groups based on Lusin measurability, Preprint, 43 Seiten
Nikitin, N.
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1904.10928) - Aspects of control theory on infinitedimensional Lie groups and G-manifolds, 58 Seiten
Glöckner, H. und J. Hilgert
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2007.11277) - Lie groups of real analytic diffeomorphisms are L∞-regular, Preprint, 33 Seiten
Glöckner, H.
(See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2007.15611) - Products of regular locally compact spaces are kR-spaces, Topol. Proc. 55 (2020), 35–38
Glöckner, H. und N. Masbough
