Stabilisierungs- und Limiter-Techniken für Galerkin-Approximationen hyperbolischer Erhaltungsgleichungen mit finiten Elementen hoher Ordnung

• Antragsteller: Professor Dr. Dmitri Kuzmin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 387630025

Ziel dieses Projekts ist die Weiterentwicklung neuartiger Monolithic-Convex-Limiting (MCL) Ansätze zur Diskretisierung nichtlinearer hyperbolischer Erhaltungsgleichungen mit finiten Elementen (FE). Die vom Antragsteller konzipierte MCL-Methodik kombiniert eine Galerkin-FE-Approximation beliebig hoher Ordnung mit einem algebraischen Teilzellen-Lax-Friedrichs-Verfahren niedriger Ordnung unter Berücksichtigung relevanter Maximumprinzipien und ggf. Entropie-Ungleichungen. Das resultierende nichtlineare FE-Verfahren ist beweisbar positivitätserhaltend und entropiestabil. Darüber hinaus ist es parameterfrei und in einer Form darstellbar, die unabhängig vom Polynomgrad das kompakte Besetzungsmuster der stückweise-linearen Approximation mit den gleichen Knoten aufweist. Im Fokus der ersten Förderperiode standen die Herleitung und Analyse derartiger algebraischer Flusskorrektur-Techniken für stetige FE-Diskretisierungen mit Bernstein-Polynombasen hoher Ordnung. Im Rahmen des beantragten Fortsetzungsprojekts sollen theoretisch abgesicherte Erweiterungen von MCL auf allgemeine Runge-Kutta-Zeitdiskretisierungen, stationäre Probleme und discontinuous Galerkin (DG) Verfahren entwickelt werden. Eine Aufgabe von zentraler Bedeutung ist die Sicherstellung der Entropiestabilität nicht nur für skalare nichtlineare Probleme auf semi-diskreter Ebene sondern auch für vollständig diskrete FE-Approximationen hyperbolischer Systeme. Ebenso geplant ist die Entwicklung von hp-adaptiven DG-Verfahren mit neuartiger Fluss- und Steigungsbeschränkung für die stückweise-lineare Teilzellen-Approximation auf nichtglatten Makrozellen. Alle neuen Funktionalitäten sollen in der öffentlich verfügbaren C++ Softwarebibliothek MFEM (https://mfem.org) implementiert werden. Zur Verifizierung der Genauigkeit, Robustheit und Effizienz sind umfangreiche theoretische Untersuchungen und Vergleichsrechnungen mit anderen hochauflösenden DG-Verfahren durchzuführen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen