Stabilisierungs- und Limiter-Techniken für Galerkin-Approximationen hyperbolischer Erhaltungsgleichungen mit finiten Elementen hoher Ordnung

• Antragsteller: Professor Dr. Dmitri Kuzmin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 387630025

• Erstellungsjahr: 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Ziel dieses Forschungsprojekts war die Entwicklung einer neuen Generation von hochauflösenden Finite-Elemente-Verfahren zur physikkonformen Diskretisierung nichtlinearer hyperbolischer Probleme. Solche Probleme sind anfällig für numerische Instabilitäten und unphysikalische Artefakte, die auftreten, wenn unerwünschte Oszillationen nicht unterdrückt und relevante Nebenbedingungen nicht eingehalten werden. Das in diesem Projekt entwickelte Framework der konvexen monolithischen Limitierung (MCL) erhält invariante Gebiete, wie die Positivität quasi-konkaver Funktionen von Erhaltungsvariablen, und gewährleistet die Einhaltung lokaler diskreter Maximumsprinzipien für skalare Größen. Unter Verwendung limiter-basierter algebraischer Korrekturtechniken lassen sich Entropiestabilitätsbedingungen für semi- und volldiskrete Verfahren erzwingen. Zur Beschränkung von Runge-Kutta-Zeitdiskretisierungen hoher Ordnung wurden monolithische Limiter für die Zwischen- und Endstufen entwickelt. Die schwierige Aufgabe, optimale Genauigkeit und Effizienz mit stetigen und unstetigen Galerkin-Diskretisierungen beliebig hoher Ordnung zu erreichen, wurde für nodale Bernstein- und Legendre-Gauß-Lobatto-(LGL-)Basen durch die Lokalisierung auf Subzellen und die dünnbesetzte Darstellung bzw. Approximation diskreter Operatoren gelöst. Gewichtete, wesentlich nicht-oszillierende (WENO) Rekonstruktionen wurden verwendet, um neuartige Glattheitsindikatoren für nichtlineare Stabilisierungsterme zu konstruieren. Bedeutende Fortschritte wurden auch in der theoretischen Analyse algebraischer Flusskorrekturverfahren erzielt, einschließlich neuer a-priori-Fehlerabschätzungen für lineare Transportgleichungen. Die Fähigkeit jeder Limitierungstechnik, gewünschte Eigenschaften zu erzwingen, ist beweisbar garantiert. Die Entropiestabilität von MCL-basierten Finite-Elemente-Diskretisierungen wurde in Beweisen der Lax-Wendroff-Konsistenz und der Konvergenz gegen dissipative schwache Lösungen der kompressiblen Euler-Gleichungen genutzt. Die zentralen Ergebnisse des Projekts sowie zahlreiche neue Resultate sind im Buch "Property-Preserving Numerical Schemes for Conservation Laws" (470 Seiten plus Zusatzmaterial), das 2023 bei World Scientific veröffentlicht wurde, zusammengefasst.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• A partition of unity approach to adaptivity and limiting in continuous finite element methods. Computers & Mathematics with Applications, 78(3), 944-957.
  Kuzmin, Dmitri; Quezada de Luna, Manuel & Kees, Christopher E.
  
• Physics-Compatible Finite Element Methods for Scalar and Tensorial Advection Problems. Springer Fachmedien Wiesbaden.
  Lohmann, Christoph
  
• Algebraic entropy fixes and convex limiting for continuous finite element discretizations of scalar hyperbolic conservation laws. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 372, 113370.
  Kuzmin, Dmitri & Quezada de Luna, Manuel
  
• Entropy conservation property and entropy stabilization of high-order continuous Galerkin approximations to scalar conservation laws. Computers & Fluids, 213, 104742.
  Kuzmin, Dmitri & Quezada de Luna, Manuel
  
• Gradient-Based Limiting and Stabilization of Continuous Galerkin Methods. Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 331-339. Springer International Publishing.
  Kuzmin, Dmitri
  
• Locally bound-preserving enriched Galerkin methods for the linear advection equation. Computers & Fluids, 205, 104525.
  Kuzmin, Dmitri; Hajduk, Hennes & Rupp, Andreas
  
• Matrix-free subcell residual distribution for Bernstein finite element discretizations of linear advection equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 359, 112658.
  Hajduk, Hennes; Kuzmin, Dmitri; Kolev, Tzanio & Abgrall, Remi
  
• Matrix-free subcell residual distribution for Bernstein finite elements: Monolithic limiting. Computers & Fluids, 200, 104451.
  Hajduk, Hennes; Kuzmin, Dmitri; Kolev, Tzanio; Tomov, Vladimir; Tomas, Ignacio & Shadid, John N.
  
• Monolithic convex limiting for continuous finite element discretizations of hyperbolic conservation laws. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 361, 112804.
  Kuzmin, Dmitri
  
• Subcell flux limiting for high-order Bernstein finite element discretizations of scalar hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 411, 109411.
  Kuzmin, Dmitri & Quezada de Luna, Manuel
  
• A new perspective on flux and slope limiting in discontinuous Galerkin methods for hyperbolic conservation laws. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 373, 113569.
  Kuzmin, Dmitri
  
• An algebraic flux correction scheme facilitating the use of Newton-like solution strategies. Computers & Mathematics with Applications, 84, 56-76.
  Lohmann, Christoph
  
• Entropy stabilization and property-preserving limiters for ℙ1 discontinuous Galerkin discretizations of scalar hyperbolic problems. Journal of Numerical Mathematics, 29(4), 307-322.
  Kuzmin, Dmitri
  
• Algebraically Constrained Finite Element Methods for Hyperbolic Problems With Applications to Geophysics and Gas Dynamics. Ph.D. thesis, TU Dortmund University
  Hajduk, Hennes
  
• Bound-preserving Flux Limiting for High-Order Explicit Runge–Kutta Time Discretizations of Hyperbolic Conservation Laws. Journal of Scientific Computing, 91(1).
  Kuzmin, Dmitri; Quezada de Luna, Manuel; Ketcheson, David I. & Grüll, Johanna
  
• Limiter-based entropy stabilization of semi-discrete and fully discrete schemes for nonlinear hyperbolic problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 389, 114428.
  Kuzmin, Dmitri; Hajduk, Hennes & Rupp, Andreas
  
• Analysis of algebraic flux correction schemes for semi-discrete advection problems. BIT Numerical Mathematics, 63(1).
  Hajduk, Hennes & Rupp, Andreas
  
• Dissipation-based WENO stabilization of high-order finite element methods for scalar conservation laws. Journal of Computational Physics, 487, 112153.
  Kuzmin, Dmitri & Vedral, Joshua
  
• Property-Preserving Numerical Schemes for Conservation Laws. WORLD SCIENTIFIC.
  Kuzmin, Dmitri & Hajduk, Hennes
  
• Dissipative WENO stabilization of high-order discontinuous Galerkin methods for hyperbolic problems.
  Vedral, Joshua
  
• Monolithic Convex Limiting for Legendre-Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral-Element Methods. Communications on Applied Mathematics and Computation, 6(3), 1860-1898.
  Rueda-Ramírez, Andrés M.; Bolm, Benjamin; Kuzmin, Dmitri & Gassner, Gregor J.
  
• Well-balanced convex limiting for finite element discretizations of steady convection-diffusion-reaction equations. Journal of Computational Physics, 518, 113305.
  Knobloch, Petr; Kuzmin, Dmitri & Jha, Abhinav
  
• Monolithic convex limiting and implicit pseudo-time stepping for calculating steady-state solutions of the Euler equations. Journal of Computational Physics, 523, 113687.
  Moujaes, Paul & Kuzmin, Dmitri
  
• Strongly consistent low-dissipation WENO schemes for finite elements. Applied Numerical Mathematics, 210, 64-81.
  Vedral, Joshua; Rupp, Andreas & Kuzmin, Dmitri