Robuste sequentielle Analyse
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In vielen Anwendungen der Signalverarbeitung ist eine schnelle Inferenz wichtig, welche auch dann zuverlässig funktioniert, wenn das zugrunde liegende Modell nicht vollständig bekannt ist. Schnelle Inferenz verlangt naturgemäß nach sequentiellen Methoden, während eine zuverlässige Inferenz unter Modellunsicherheit robuste Methoden erfordert. In den letzten Jahrzehnten wurde auf beiden Gebieten, der sequentiellen Inferenz und der robusten Inferenz, viel geforscht. Allerdings gibt es bisher nur wenige Ergebnisse zur Kombination beider Felder, d.h. zu robusten und sequentiellen Verfahren. Das Ziel dieses Projekts war es, ein einheitliches Rahmenwerk für die Analyse und Implementierung von robusten sequentiellen Verfahren zu entwickeln, welches sowohl robuste sequentielle Hypothesentests als auch robuste Verfahren für das Problem der gemeinsamen Hypothesentests und Parameterschätzung umfasst. In diesem Projekt haben wir ein Rahmenwerk für minimax robuste sequentielle Hypothesentests für mehrere einfache Hypothesen entwickelt. Wir haben gezeigt, dass die ungünstigsten Verteilungen, d.h. die Verteilungen, welche die erwartete Anzahl der verwendeten Datenpunkten und die Fehlerwahrscheinlichkeiten maximieren, diejenigen sind, welche eine f -Dissimilarität minimieren. Die optimale Teststrategie wurde durch eine nichtlineare Integralgleichung charakterisiert, die diese f -Dissimilarität erzeugt. Basierend auf diesen Ergebnissen wurde ein Satz von hinreichenden Bedingungen für minimax-optimale sequentielle Hypothesentests abgeleitet. In einer Vielzahl von Anwendungen treten Hypothesentests und Parameterschätzung gekoppelt auf und beide sind von primärem Interesse. Dieses Problem wurde in einem sequentiellen Kontext untersucht. Wir haben ein Rahmenwerk entwickelt um sequentielle Verfahren zu entwerfen, welche gleichzeitig die wahre Hypothese als auch den wahren Parameter inferieren und dabei im Durchschnitt so wenig Datenpunkte wie möglich verwenden und gleichzeitig die Detektions- und Schätzfehler unter vordefinierten Werten halten. Das optimale Verfahren wurde durch ein System von nicht-linearen und rekursiv definierten Kostenfunktionen charakterisiert. Darüber hinaus haben wir Verfahren entwickelt um die Koeffizienten, welche die Kostenfunktion parametrisieren so zu bestimmen, dass alle Bedingungen erfüllt sind und das Verfahren im Mittel eine minimale Anzahl von Datenpunkten verwendet. Das optimale Verfahren für das Problem der gemeinsamen sequentiellen Detektion und Schätzung erfordert die Auswertung der rekursiv definierten Kostenfunktion und kann für komplexere Szenarien sehr rechenaufwändig sein. Daher haben wir ein Verfahren für das Problem der gemeinsamen sequentiellen Detektion und Schätzung entwickelt, welches asymptotisch punktweise optimal (APO) ist. Dies bedeutet, es wird optimal, wenn die maximal erlaubten Detektions- und Schätzfehler hinreichend klein sind. Die vorgeschlagene APO-Stoppregel kann einfach implementiert werden, indem die momentanen Kosten mit einem zeitabhängigen Schwellenwert verglichen werden, während die optimale Stoppregel durch die rekursiv definierten Kostenfunktionen gegeben ist. Diese einfache Implementierung ermöglicht die Anwendung auf reale Probleme. Wir haben außerdem gezeigt, dass selbst bei moderaten Detektions- und Schätzfehler das optimale Verfahren nur geringfügig weniger Datenpunkte als das APO-Verfahren benötigt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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“Bayesian Sequential Joint Detection and Estimation.” In: Sequential Analysis 37.04 (2018), pp. 530–570
D. Reinhard, M. Fauß, and A. M. Zoubir
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“Minimax optimal sequential hypothesis tests for Markov processes.” In: Ann. Statist. 48.5 (Oct. 2020), pp. 2599–2621
M. Fauß, A. M. Zoubir, and H. V. Poor
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“Minimax Robust Detection: Classic Results and Recent Advances.” In: IEEE Transactions on Signal Processing (2021), pp. 1–1
M. Fauss, A. M. Zoubir, and H. V. Poor
