Dissipation und Entropie-Produktion numerischer Verfahren hoher Ordnung für hyperbolische Erhaltungsgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Sonar
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 391673438

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Im Projekt »Dissipation and entropy production of high-order numerical methods for hyperbolic conservation laws« wurden erfolgreich neue Methoden entwickelt, um entropiekonservative und entropiedissipative numerische Löser zu entwickeln. Die Forschung kann in zwei große aufeinander abgestimmte Segmente unterteilt werden. Das erste ist die Diskretisierung im Ort, bei der aus einem System hyperbolischer Erhaltungsgleichungen ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) erzeugt wird. Der zweite Schritt ist die Integration dieses ODE-Systems in der Zeit durch einen Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen. Unser Forschungsschwerpunkt im ersten Arbeitsschritt war es, Entropieungleichungen bei der Konstruktion des ODE Systems einzubauen. Dazu gehören sowohl klassische Entropieungleichungen als auch das Entropieratenkriterium von Dafermos. Als erstes wurde untersucht, ob Dafermos’ Aussage, dass für skalare Erhaltungsgleichungen der Godunovfluss die Entropiedissipation von allen Flüssen auf der Verbindungslinie der Mittelwerte maximiert, auch für Systeme gilt. Dies muss verneint werden. Danach stellte sich das Entropieratenkriterium als nicht sinnvoll heraus, als es dadurch umgesetzt wurde, dass in Finite-Volume Methoden das Rekonstruktionspolynom ausgewählt wurde, dass die Entropie am schnellsten dissipiert. Als Grund wird angenommen, dass diese Auswahl des Polynoms zwar stark entropiedissipativ ist, jedoch keine gute Approximation einer schwachen Lösung. Der Löser dissipiert Entropie deutlich schneller als die exakte Lösung für einfache Testfälle, produziert also unphysikalische Lösungen. Diskrete Äquivalente der Produkt und Kettenregel und die Dissipation von Entropie durch höhere Ableitungen in Diskretisierungen wurde als nächstes betrachtet. Eine Ordnungsbarriere wurde entdeckt, da Diskretisierungen der ersten Ableitung nur bis zur Ordnung 2 diskrete Äquivalente der Produkt- und Kettenregel über dem Raum der Funktionen beschränkter Variation erfüllen können. Weiterhin wurde entdeckt, dass Diskretisierungen hoher Ordnung von höheren Ableitungen nicht alle Entropien dissipieren. Um klassische Entropieungleichungen zu erfüllen, die die semidiskrete Stabilität garantieren, wurden die Ideen von Abgrall zu Entropiekorrekturtermen für Residual Distribution Löser benutzt. Diese Korrekturterme konnten mit Lösungen von Optimierungsproblemen identifiziert werden. Dabei wurde gefordert, dass die Entropiekorrektur von allen möglichen Korrekturen genau die Korrektur mit der kleinsten Norm ist, also auch die Korrektur, die die kleinste Abweichung vom unmodifizierten Löser ermöglicht. Ein ähnlicher Ansatz wurde auch verwendet, um ein modifiziertes Dafermos Entropieratenkriterium zu erzwingen. Es wurde nur zugelassen, dass die Dissipation maximal so stark ist, wie die Dissipation des Lax-Friedrichs oder des Godunov Lösers. Neben den guten Eigenschaften des resultierenden Lösers zeigt dies, dass eine numerische Umsetzung des Entropieratenkriteriums unter zusätzlichen Randbedingungen sinnvoll ist. Alle zuvor genannten Eigenschaften sind Eigenschaften des ODE-Systems, dass jedoch noch numerisch gelöst werden muss. Es ist deshalb nicht klar, ob eine numerische Lösung dieses Systems auch diese Eigenschaften besitzt. Eine Analyse populärer Löser vom SSPRK Typ zeigte, dass Abschätzungen für konvexe Funktionale im Allgemeinen nicht erhalten werden. Trotzdem konnten durch Modifikationen der Zeitintegration oder Ortsdiskretisierung Löser konstruiert werden, deren Lösungen auch völlig diskret entropiedissipativ sind und entweder von Ordnung zwei, oder auch von beliebiger Ordnung. Zusammenfassend hat das Projekt die Stabilität und Nichtoszillativität von Lösern für Erhaltungsgleichungen verbessert, wobei sowohl klassische Methoden als auch künstliche Intelligenz benutzt wurde. Die benutzen Ansätze sind nicht auf eine bestimmte Erhaltungsgleichung zugeschnitten, sondern sind allgemein anwendbar und können auch in anderen Lösern, für verschiedene Erhaltungsgleichungen und in anderen mathematischen Zweigen verwendet werden.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• ‘Generalised Summation-by-Parts Operators and Entropy Stability of Numerical Methods for Hyperbolic Balance Laws’. PhD thesis. TU Braunschweig, Feb. 2018
  H. Ranocha
  
• ‘Mimetic Properties of Difference Operators: Product and Chain Rules as for Functions of Bounded Variation and Entropy Stability of Second Derivatives’. In: BIT Numerical Mathematics (Nov. 2018)
  H. Ranocha
  
• Analysis of Artificial Dissipation of Explicit and Implicit Time-Integration Methods. International Journal of Numerical Analysis and Modeling. Dec. 2019
  P. Öffner, J. Glaubitz and H. Ranocha
  
• ‘Error Boundedness of Discontinuous Galerkin Methods with Variable Coefficients’. In: Journal of Scientific Computing (Jan. 2019)
  P. Öffner and H. Ranocha
  
• ‘On Strong Stability of Explicit Runge-Kutta Methods for Nonlinear Semibounded Operators’. In: IMA Journal of Numerical Analysis (Apr. 2020)
  H. Ranocha
  
• ‘Using the Dafermos entropy rate criterion in numerical schemes’. In: BIT Numerical Mathematics (2022), pp. 1–29
  S.-C. Klein