Artifacts in approximate solutions of nonlinear dynamical systems
Final Report Abstract
Ausgangspunkt für das Projekt zur Untersuchung von Artefakten in Näherungslösungen nichtlinearer dynamischer Systeme war die Beobachtung von unphysikalischen Lösungen bei der Untersuchung des Dung-Schwingers mittels der Methode der Harmonischen Balance. Bei der Untersuchung dieser Lösungen zeigte es sich, dass diese einen hohen relativen Fehler aufweisen und zudem bei der Verwendung "ausreichend hoher Entwicklungsordnungen" nicht mehr auftreten. Dabei wird unter dem relativen Fehler einer Lösung hier das Maximum des Residuums der berechneten Näherungslösung verstanden, welches zur Verringerung von Größeneinflüssen auf die maximale Auslenkung bezogen wird. Durch dieses Maß wird die Größe der Terme höherer Ordnung, welche in der Methode der Harmonischen Balance üblicherweise vernachlässigt werden, bewertet. Die wichtigsten Fragestellungen zum Projektbeginn bestanden zunächst darin, zu klären, inwieweit es auch bei der Untersuchung anderer dynamischer Systeme und bei der Verwendung weiterer Lösungsmethoden zum Auftreten von Artefakten kommen kann und wie diese am besten identiziert werden können. Dazu wurden zunächst weitere zur Untersuchung geeignete dynamische Systeme identifiziert, wobei diese so ausgewählt wurden, dass diese entweder eine moderate Steigerung in der Komplexität beinhalten oder aber in anderem Zusammenhang von den Antragstellern schon untersucht wurden. Diese Systeme wurden dann mit der Methode der Harmonischen Balance untersucht, wobei es sich zeigte, dass es bei allen untersuchten harmonisch angeregten Systemen zum Auftreten von Artefakten kam. Zum Vergleich wurde die Methode der Mehrfachen Zeitskalen zur Untersuchung des Dung-Schwingers verwendet, wobei die bereits vorhandenen Ergebnisse aus der Untersuchung desselben Systems mittels der Methode der Harmonischen Balance als Referenz benutzt werden konnten. Auch hier zeigte es sich wieder, dass es zum Auftreten von Artefakten in großem Umfang kommen kann. Ergänzend zu den beschriebenen Untersuchungen erfolgte eine intensive Beschäftigung hinsichtlich von Verbesserungen in der Programmierung der Methode der Harmonischen Balance. Dazu wurde unter Anderem untersucht, wie die bei der Anwendung der Methode entstehenden nichtlinearen algebraischen Gleichungen am effektivsten gelöst werden können, so dass einerseits möglichst alle existierenden Lösungen gefunden werden und andererseits der damit verbundene Rechenaufwand nicht zu stark anwächst. Als wesentliches Ergebnis des Projekts lässt sich also festhalten, dass es bei der Berechnung von Näherungslösungen nichtlinearer dynamischer Systeme unter harmonischer Anregung zum Auftreten von Artefakten in großem Umfang kommen kann. Des Weiteren zeigte es sich, dass Artefakte besonders häufig auftreten, wenn niedrige Entwicklungsordnungen verwendet werden. Da dies in der Anwendung überwiegend der Fall ist, besteht hier die Gefahr, dass Artefakte berechnet und für reguläre Lösungen gehalten werden. Aufgrund ihrer Einfachheit zumindest bei kleinen Systemen und niedrigen Entwicklungsordnungen ist die Methode der Harmonischen Balance sehr beliebt und wird verbreitet angewendet, womit hier die Gefahr der Interpretation unphysikalischer Lösungen als reale Lösungen besonders hoch ist. Da zudem davon auszugehen ist, dass die Notwendigkeit von nichtlinearen Analysen in der Zukunft weiter ansteigen wird, handelt es sich hierbei um ein Problem mit hoher Relevanz, welches unbedingt beachtet werden sollte.
Publications
- On the detection of artifacts in Harmonic Balance solutions of nonlinear oscillators. Applied Mathematical Modelling , 65: 408-414, 2019
U. von Wagner and L. Lentz
(See online at https://doi.org/10.14279/depositonce-9832) - Avoidance of artifacts in harmonic balance solutions for nonlinear dynamical systems. Journal of Theoretical and Applied Mechanics , 58(2): 307-316, 2020
L. Lentz and U. von Wagner
(See online at https://doi.org/10.15632/jtam-pl/118161)
