Die KPP-Gleichung mit Rauschen - ein Modell mit lokalem, dichteabhängigem Wettbewerb

• Antragstellerin: Dr. Sandra Kliem
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 393092071

Das Hauptziel dieses Projektes ist es, ein besseres Verständnis für die den Lösungen der Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov-(KPP)-Gleichung mit Rauschen (auch Kolmogorov- oder Fisher-Gleichung genannt) zugrunde liegenden Dynamiken zu entwickeln. Lösungen dieser stochastischen partiellen Differenzialgleichung (SPDGl) dienen als Modell für die (zufällige) zeitliche und räumliche Dichte einer Population mit lokalem, linearem Massenzuwachs and lokalem, dichteabhängigem Wettbewerb. Nicht-triviale räumliche Abhängigkeiten, bedingt durch den Wettbewerbsterm in der SPDGl, machen das Projekt besonders anspruchsvoll.Die Massenzuwachsrate ist parameterabhängig. Oberhalb eines kritischen Wertes haben Lösungen positive Wahrscheinlichkeit nicht in endlicher Zeit auszusterben, vorausgesetzt, dass sie als Anfangsbedingung mit kompaktem Träger starten. Nun stellt sich die Frage, ob lokales Überleben möglich ist, insbesondere, ob sogenannte vollständige Konvergenz gezeigt werden kann? Letztere tritt bei Kontaktprozessen mit Nächster-Nachbar-Wechselwirkung ein. Bisher konnten solche Resultate nur für translationsinvariante Anfangsbedingungen oder hohe Parameterwerte gezeigt werden. Uns interessieren diese Fragestellungen für Parameter nahe dem kritischen Wert.Kürzlich wurde gezeigt, dass ausgehend von der Heavyside Anfangsbedingung die Geschwindigkeit der rechten Lösungsfront (Supremum des Trägers) oberhalb des kritischen Parameterwertes deterministisch und positiv ist. Was passiert, wenn wir stattdessen mit einer Anfangsbedingung mit kompaktem Träger starten und darauf bedingen, dass die Population überlebt?In diesem Projekt ist es unser Ziel, neue wertvolle Erkenntnisse für die Dynamik von Lösungen nahe dem kritischen Parameter zu gewinnen. Vor allem streben wir ein tieferes Verständnis für das Wechselspiel von Ausbreitung in unbesiedelte Regionen an der Lösungsfront und Massenausbreitung unter Wettbewerb im Hinterfeld an.Die Herleitung von neuen Teilchenrepräsentationen unter dem Aspekt von Eins-zu-eins Interaktionen ist ein weiteres Ziel dieses Projektes. Solche Repräsentationen ermöglichen es, die den Lösungspfaden zugrunde liegenden treibenden Kräfte aufzudecken und den Begriff des lokalen Wettbewerbs klarzustellen. Des Weiteren liefern sie neue Ansätze zur Untersuchung ihres zeitlichen Verlaufes.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich, Großbritannien
• Kooperationspartner: Dr. Viet Chi Tran; Dr. Roger Tribe