Zufällige Schrödingeroperatoren mit breather Potentialen als paradigmatische Modelle für nicht-linearen Einfluss der Zufallsvariablen

• Antragsteller: Professor Dr. Ivan Veselic
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 394221243

In dem Projekt untersuchen wir spektrale, dynamische und statistische Eigenschaften von Schrödingeroperatoren mit zufälligem Potential vom breather-Typ. Solche Modelle zeichnen sich durch eine nicht-lineare Abhängigkeit von einer kanonischen Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen aus. Dies stellt eine zusätzliche Herausforderung für die mathematische Analyse und das physikalische Verständnis im Vergleich zu Modellen mit linearen Zufallsparametern dar, wie zum Beispiel beim Legierungs- oder dem Andersonmodell. Unsere Forschung motiviert die Frage, inwieweit typische Charakterisierungen von Lokalisierung (in geeigneten Unordnungs- und Energiebereichen), die man von linearen Modellen kennt, auch bei nicht-linearen weiterbestehen. Insbesondere wollen wir untersuchen, ob ein ausreichendes Maß an Unordnung zu Lokalisierung führt,unabhängig davon, ob das untersuchte Modell linear ist oder nicht, und dadurch einen Aspekt der Universalität der Anderson-Lokalisierung klären.Als Mehrwert unserer Studien erwarten wir nicht nur ein besseres Verständnis des physikalischen Phänomens der Lokalisierung,sondern auch Identifikation und Entwicklung von neuen mathematischen Werkzeugen für die Untersuchung von zufälligen Differentialoperatoren. Wir haben uns entschieden zufällige Schrödingeroperatoren von breather-Typ zu untersuchen, weil diese Klasse zum einen konkret genug ist, um für explizite Rechnungen zugänglich zu sein und explizit lösbare Modelle beinhaltet,zum anderen als Paradigma für andere Arten von Potentialen mit nicht-linearer Abhängigkeit von Parametern dienen kann. Insbesondere scheint die Untersuchung des Volumens und der geometrischen Struktur von Niveaumengen (verschiedener Realisierungen) des Zufallspotentials der entscheidende Schritt für das Verständnis von detaillierten spektralen Eigenschaften zu sein. Für die Ausführung des Projektes kommt zupass, dass es monotone, im-Mittel-monotone und nicht-monotone breather-Potentiale gibt, die zu unterschiedlichen Schwierigkeitsstufen bei der mathematischen Analyse führen. Für die benannten Modelle wollen wir Lifschitz-Asymptotiken, Anfangsskalen-Abschätzungen, Wegner-Abschätzungen, Lokalisierungs-Beweise mittels der Multiskalen-Analyse, (De)korrelations-Abschätzungen und Spektralstatistiken untersuchen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Russische Föderation
• Kooperationspartner: Professor Dr. Denis Borisov