Lokale Modelle für Modulräume von Shtukas

• Antragsteller: Professor Dr. Timo Richarz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 394587809

Das Ziel Arithmetischer Algebraischer Geometrie ist es, ein besseres Verständnis der ganzzahligen Lösungen eines Systems polynomieller Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten zu erlangen. Ein Ansatz zum Studium der Lösungsmenge X besteht in der Untersuchung der Lösungen modulo fixierter Primzahlen p. Die Anzahl dieser Lösungen ordnet man geschickt in einem unendlichen Produkt über alle Primzahlen in einer Funktion einer komplexen Variablen ζ(X, s) mit s ∈ C, Re(s) >> 0 an. Diese ζ-Funktionen besitzen vermutungsgemäß eine meromorphe Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene - ähnlich zum Falle der Riemannschen ζ-Funktion. Wünschenswerte Eigenschaften dieser Funktionen besitzen Informationen über das Lösungsverhalten der Gleichungen und sind eng mit der Geometrie der Lösungsmenge X verknüpft. Einer Idee von Langlands zufolge sollte es möglich sein, obige ζ-Funktionen für bestimmte Klassen von Gleichungen, den Shimuravarietäten X, explizit durch automorphe L-Funktionen auszudrücken, und so gewünschte Eigenschaften nachzuweisen. Ein Beleg für die Stärke dieser Methoden ist der Beweis des großen Fermatschen Satzes durch Wiles. Das im folgenden näher beschriebene Projekt liegt somit an der Schnittstelle von Algebraischer Zahlentheorie, Algebraischer Geometrie und der Theorie der Automorphen Formen. Konkret soll die lokale Geometrie gewisser Modulräume von Drinfeld-Shtukas, den Funktionenkörperanaloga von Shimuravarietäten, an Stellen schlechter Reduktion, und deren Anwendung auf die Bestimmung lokaler Faktoren ihrer ζ-Funktionen untersucht werden.Modulräume von Shtukas wurden von Drinfeld für die allgemeine lineare Gruppe zum Studium der Langlands-Korrespondenz für Funktionenkörper eingeführt, von Varshavsky auf reduktive Gruppen und schließlich von Arasteh Rad und Hartl auf allgemeine glatte affine Gruppen verallgemeinert. In einem ersten Schritt des Projektes soll die lokale Geometrie dieser Modulräume für Bruhat-Tits-Gruppen mithilfe Beilinson-Drinfeld lokaler Modelle untersucht werden. Die Verwendung solcher Modelle im Shimurafalle für die Durchführung der Langlands-Kottwitz-Methode für parahorisches Level geht auf Rapoport zurück, und erste Resultate über die Geometrie dieser Modelle auf Görtz. Die Neuheit des Projektes besteht darin, Fälle von tieferem Level zu untersuchen. In einem zweiten Schritt soll nun die Funktion der halbeinfachen Spur des Frobenius auf den benachbarten Zykeln dieser lokalen Modelle untersucht werden. Diese Funktion wird durch die Kottwitz-Vermutung für parahorisches Level explizit beschrieben, und kann als Testfunktion in der Langlands-Kottwitz-Methode genutzt werden. In zukünftigen Projekten sollen die Resultate einerseits bei der Bestimmung lokaler Faktoren von ζ- Funktionen für Modulräume von Shtukas verwendet werden, und andererseits dabei helfen, Analogien zum Falle von Shimuravarietäten besser zu verstehen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Laurent Fargues