Äußerst nichtlineare Evolutionsprobleme

• Antragsteller: Dr. Thomas Singer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 396311282

In dem Projekt „Highly nonlinear evolutionary problems“ beschäftigen wir uns hauptsächlich mit zeitabhängigen, nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und Minimierungsproblemen. Dabei werden wir drei verschiedene Problemstellungen betrachten.Zunächst behandeln wir doppelt nichtlineare parabolische Gleichungen, die bei der Modellierung von verschiedenen physikalischen Phänomenen auftreten, wie zum Beispiel in der Plasmaphysik oder der Analyse von turbulenten Filtrationen von Gasen und Flüssigkeiten durch ein poröses Medium. Diese Gleichungen finden auch Anwendung in der Charakterisierung von Grundwasserproblemen, bei der Hitzestrahlung in Plasma oder bei der Bewegung von viskosen Flüssigkeiten. Eines der Hauptziele dieses Projektes ist es zu untersuchen, ob Lösungen von derartigen Gleichungen eine gewisse Regularitätseigenschaft, die sogenannte self-improving property, besitzen, indem wir die Methode der Expansion of Positivity benutzen.In den letzten Jahren wurden immer mehr mit partiellen Differentialgleichungen verbundene Problemstellungen auf Gebieten, die sich im Laufe der Zeit verändern, betrachtet. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass diese Problematik in einer Reihe von Fragestellungen aus der mathematischen Biologie auftritt, wie z.B. sich entwickelnde Organismen oder wuchernde Zellen, bei denen sich die betrachteten Gebiete auf eine gewisse Weise verändern. Zudem gibt es auch einige klassische Anwendungen in den Ingenieurswissenschaften, wie Flüssigkeiten oder Gase in Kanälen oder Rohren mit begrenzenden Wänden, die willkürlich verschoben, weggenommen oder eingebracht werden können. Ein Ziel dieses Projektes ist es Existenz für Variationslösungen von zeitabhängigen Problemen, die diese Phänomene beschreiben, zu zeigen. Dazu werden wir einen Ansatz benutzen, der auf DeGeorgis Methode der Minimizing Movements basiert.Schließlich werden wir uns noch mit Funktionalen beschäftigen, die eine exponentielle Wachstumsrate besitzen. Das Ziel ist es zu zeigen, dass parabolische Minimierer, die mit diesen Problem assoziiert sind, in einer gewissen Art und Weise regulär sind. Zur Umsetzung dieses Vorhabens werden wir von einer parabolsichen Variante der DeGeorgi Klassen und einer Variante der Moser Iteration Gebrauch machen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Finnland
• Gastgeber: Professor Dr. Juha Kinnunen