Gestaltsoptimierung für Eigenwerte elliptischer Operatoren höherer Ordnung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Gestaltsoptimierung ist ein schnellwachsendes Teilgebiet der geometrischen Analysis. Ein Gestaltsoptimierungsproblem wird als ein Minimierungsproblem formuliert: gegeben sei eine Menge A von zulässigen Formen und ein Gebietsfunktional F. Dann wird eine Element aus A gesucht, welches F in A minimiert. Dieser Minimierer wird optimales Gebiet genannt. Ein klassisches Beispiel für ein solches Gestaltsoptimierungsproblem ist die isoperimetrische Ungleichung. In diesem Fall ist A die Menge aller offenen Mengen mit vorgegebenem Volumen und F der Perimeter eines Gebiets. Hängt das Funktional F nicht nur von einem Gebiet D, sondern auch von der Lösung einer partiellen Differentialgleichung auf D ab, wird das Vorgehen deutlich komplizierter. In unserem Interesse stehen genau diese Probleme. Im Kern geht es um die folgenden Fragen: a) Existiert ein optimales Gebiet? b) Ist ein optimales Gebiet regulär? c) Wenn es das ist, kann man notwendige Bedingungen für die Optimalität formulieren? Ist das optimale Gebiet eindeutig? Für Probleme, in denen elliptische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung enthalten sind, sind verschiedene Strategien zur Beantwortung der obigen Fragen bekannt. Diese Strategien basieren hauptsächlich auf dem Maximumprinzip, Blow-up-Techniken und Symmetrisierungsargumenten. All diese Techniken sind allerdings nur anwendbar, wenn partielle Differentialgleichungen von zweiter Ordnung involviert sind. Dieses Projekt befasste sich mit zwei speziellen Gebietsfunktionalen, in denen Lösungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen vierter Ordnung auftreten: die Grundschwingung und die Beullast einer eingeklemmten Platte. In beiden Fällen konnte die Existenz eines optimalen Gebiets unter allen offen und beschränkten Teilmengen des Rn, n ≥ 2, mit gegebenem Volumen bewiesen werden. Basierend auf einer Idee von Alt und Caffarelli wurde die Minimierung von Beullast bzw. Grundton dabei als freies Randwertproblem mit einem Bestrafungsterm für die Volumenbedingung interpretiert. Zwei verschiedene Varianten der Bestrafung und die daraus resultierenden Effekte wurden untersucht. Zudem konnte ein bisher nur in zwei Dimensionen gültiges Existenzresultat von Ashbaugh/Bucur (2003) für ein die Beullast minimierendes Gebiet auf beliebig hohe Dimensionen erweitert werden. Dazu wurde der Ansatz von Ashbaugh und Bucur, der ein concentrationcompactness Argument verwendet, mit der auf Alt und Caffarelli zurückgehenden Idee, die Eigenfunktion eingehender zu untersuchen, kombiniert. Somit konnten die Existenz eines optimalen Gebiets zur Minimierung der Beullast unter allen offenen, möglicherweise unbeschränkten Teilmengen des Rn , n ≥ 2, mit gegebenem Volumen gezeigt werden. Ein weiterer Teil dieses Projekt war eine Kollaboration mit Alexandra Gilsbach (Tokyo Institute of Technology). Gemeinsam wurde eine überbestimmtes Randwertproblem für den biharmonischen Operator untersucht. Wird dieses Problem auf dem Einheitsball betrachtet, existiert eine Lösung für eine spezielle konstante überbestimmte Randbedingung. Es konnte gezeigt werden, dass es zu jeder kleine Störungen dieser konstanten Randbedingung ein offenes und beschränktes Gebiet gibt, welches eine Lösung für das überbestimmte Problem zulässt. Für die Abweichung dieser Gebiete vom Einheitsball wurden Stabilitätsabschätzungen bewiesen. Die hierbei angewandte Methode basiert auf einem Resultat von Gilsbach/Onodera und benutzt Erkenntnisse von Ferrero, Gazzola und Weth bezüglich eines Steklov-Problems vierter Ordnung.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Existence of an optimal domain for minimizing the fundamental tone of a clamped plate of prescribed volume in arbitrary dimension
K. Stollenwerk
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“Existence and stability of solutions for a fourth order overdetermined problem”. J. Math. Anal. Appl., 505(2):Paper No. 125531, 18, 2022
Gilsbach, Alexandra & Stollenwerk, Kathrin
